I!>(DICES
283. Indiceau — cii, a,, ... a^ étant une base réduite d'un groupe -abélien« si un élément du groupe est mis sous la forme
le système d'entiers a,, a,, .,. a„ s'appelle sy$tème d'indices de cet élément, En disant, pour simplifier le langage que ces indices sont déterminés lorsqu'ils le sont, le premier (mod /fj, le second (mod k^) etc. ; kl, /f,, ... étant les exposants de a^, Cj, ... on voit q[ue tout élément à un système d'indices déterminé et réciproquement.
On remarquera l'analogie de cette définition avec celle du n" 21 et on verra sans peine que le système d'indices d'un produit de facteurs est égal à la somme des systèmes d'indices des facteurs, et les théorèmes analogue à ceux du n" 0.
Problème. — Calculer Vexposanl d'un élément déterminé par $on systèmes d^ indices.
On trouve comme au n'' 22, que cet exposant est :
En particulier l'exposant maximum est M(/(t, k^, ... k,^) et tous les autres sont des diviseurs de celui là. Dans le cas où la base est réduite parfaite, l'exposant maximum est e,..
TnÉORàMB. — Si deux éléments a, a' appartiennent respectivement à des exposants d, dl premiers entre eux, alors aa' appartient à l'exposant dd'.
Ce théorème se démontre comme celui de la note I et du chapitre I. On peut aussi le déduire du résultat précédent.
284. Racines m-mei de l'unité dans un groupe. — Il s'agit de trouver les élément x du groupe tels que rc"' = i .
On voit comme au n° 23 que les indices ai, a,, ... a„ d'un tel élément se calculent par les congruences
moii ^ 0 (mod ki)
ma„ ^ 0 (mod k„) Le nombre de solution est :
F(m) = D(/n./fi)D(m,/f,) ... U[m,k„) = D(m,et).D(m,«,) ... D(m,e,.)
Les solutions de x"* = i sont d'ailleurs les mêmes que celles de jcD(m.<2) = 1,
Cas particulier. — Si m est premier à chacun des entiers ki, k^, ... kn, il y a une seule solution qui est x = 1 .
5a8 THÉORIE DES NOMBRES
Les racines m»"»»' de l'unité dans un groupe abélien forment un sous-groupe dont l'ordre est F(m). Les raisonnements précédent» donnent une base réduite de ce groupe, à savoir :
dont les élément ont respectivement pour exposants :
D(m,/fi), D(m.fcj). ... D(m,/c„).
Ceux de ces éléments dont l'exposant est i , se réduisent à l'élément unité et peuvent être supprimés. Lorsque la base réduite Oi, a,, ... a^ est parfaite les éléments pour lesquels cela arrive sont les premier» dans la suite.
Si m eit un nombre premier p on a I>{p,ki) = i ou p. Supposons que la base Oi, a,, ... a», soit réduite parfaite, on aura comme base réduite du sous-groupe des racines p«"«' de l'unité
en désignant par e^ le premier des e qui soit divisible par p. Celte base réduite est parfaite. Le nombre des racines pe»»» de l'unité est p''~''+*. Enfin, on voit (^) comme au n° 24 que le nombre des éléments d'un groupe qui appartient à l'exposant d est
FW ïF(-f) + xF(i,).
a, a', ... étant les facteurs premiers différents de a, et F(d) étant : D{d,ki)D{d,k^) ... D(rf,/c„) = D(rf,eOD(d.Cj) ... D(d,e,)
l'expression ainsi trouvée étant d'ailleurs nulle quand d n'est pas un diviseur de «r»
285. Résolution de œ"* = «. Groupe des puissances meraei. — Voir n» 25.
La condition de possibilité est que D(m,A:i) divise aj, D(m,/cj) divise Œj, etc., aijŒj, ... étant les exposants de a, et si ces conditions sont remplies il y a F(m) solutions, a est une puissance m»""» dans le groupe»
Dans un groupe, les puissances m"^" forment un sous-groupe.
Cherchons l'ordre de ce sous -groupe.
(^) Frobekius und Stickelberger, loc. cit., p. 245.
GROUPES DES RACINES ET DES PUISSANCES m*™«' 629
«i devant être un multiple de D(m,/i,) et d'ailleurs étant déQni à un
multiple près de A|, peut prendre p., \ , valeurs.
De même a, peut prendre j^, ^, > valeurs, etc. L'ordre demandé «st donc :
* X T^/ % X X ... ,^. ", . ou ' f/"n " valeurs.
D(mi/Ci) -^ D(m,/cj) '^ ••• D(m,k„) ■ F(m)
Le raisonnement précédent donne en même temps une base réduite du sous-groupe en question, à savoir ;
el c'est une base réduite parfaite, "Si Oi, Oj, ... o,i en est une du groupe total.
Théorème. — Le produit de l'ordre du sous-groupe des racines m*™"
de Vêlement unité, par celui da sous-groupe des puissances m^™*' est égal
à l'ordre da groupe total. En effet, nous venons de voir que le premier
k k . k ■de ces ordres est F(m) et le second -'p.,'". " .
Le produit k^k^ ••• k„ est égal à l'ordre du groupe total. Démonstration directe de ce théorème. — Soient 1, a, |3, ... X les racines ^emei Je l'élément unité, soient :
les puissances me™e» parfaites du groupe. Considérons le tableau :
bD3 ... DX.
5 AAaA!3 ... AX ( DD3
Il suffît de montrer que ce tableau contient tous les éléments du groupe total, chacun une fois.
i' Soit X un des éléments du groupe. Sa puissance m«"« est égale à l'un des éléments (i3). Soit X"* = A"'. Alors
X = A ou Aa ou ... AX.
2° Deux éléments du tableau (i4) sont différents. S'ils sont dans la même ligne c'est évident, et s'ils ne sont pas dans la même ligne cela résulte de ce que leurs puissances me"»»» ne sont pas les mêmes.
Caben. — Théorie des nombres, t. II. 34
530 THÉORIE DBS NOMBRES
286. Calcakr Vordn et le rang <3tan groape ahélien connaissant les^ relations qui existent entre les éléments d'une base de ce groupe. — Par hypothèse on connaît les relations (9) et par conséquent le tahleau des lij. Si on calcule les diviseurs élémentaires e,, e,, ... e^ de ce tableau, le produit de ces diviseurs est égal à l'ordre, et le nombre de ces diviseurs différents de 1 au rang du groupe.
Si l'on a une base réduite non parfaite, soient ki, k^, ... /f„ les exposants de ses éléments. Si ki, k^, ... k^ ne sont pas premiers dans leur ensemble, on aura e^ ^ 1 et le rang du groupe sera n ; si ki, /c,, ... k^ sont premiers dans leur ensemble mais que leurs produits deux à deux ne le sont pas, on aura «i = i et «, >> i , et le rang du groupe sera n — 1, etc.
287. Soit un groupe G définie par une base réduite a^ b, c ; a élan d'exposant h, b d'exposant k, c d'exposant l. On considère :
A =r a« fc3 cY
B = a«'6P'cY' C=fl«"63"cY" D = a«'"6rcY"'
Ces éléments sont la base d'un groupe (sous-groupe de G). On demandel'ordre de ce groape {').
Pour cela, cherchons d'abord les relations de la forme
Une telle relation s'écrit :
„aÇ+a'Ti+a"!;+«"'5 t?S+P'Ti+P"!:+P"'5 jÇ+Y'T.+r";+r'"3 = j
et comme a, 6, c est une base réduite, cela revient à
a\ 4- a'-n + «"C + a"'S = o (mod h) P5 4- P'ti H~ ^"Ç H-p'"ô = o (mod k) y5 -+- y'^I + y'Ç -^y'"^ = o (mod /) ou au système d'équations diophantiennes
«$ + a'rj -+- a"C H- <x"'5 -h ha =0
u, u, w. étant trois nouvelles inconnues.
{^) Nous iupposon» les éléments a, b, c au nombre de trois, et les élément»- A, B, C, D au nombre de quatre, pour fixer les idée» et simplifier l'écriture. Ce» nombres pourraient être quelconque».
