PRODUIT DE DEUX GROUPES
La solution générale de ce sptème est de la forme :
$ = auX + a^^y 4- a^,z H- a^^t ifl = a^^pc -t Ojjj -h OagZ -h a,J C = a^jX + Ojjj + a^^ -h a^t 8 = a.jX -+- a^2y -+- a^^i ■+- a^^t u = ...
D'après ce qu'on a dit (n° 281 Remarque II) l'ordre du groupe est égal au déterminant des a,y. Mais on sait (I. 194) que ce déterminant est égal au rapport dn déterminant formé par les coefficients de u, v, w dans les équations (ao) au plus grand commun diviseur des déterminants du troisième ordre extraits du tableau des coefGcients de toutes les autres inconnues. En d'autres termes le nombre que l'on cherche est égal à
hkl
a' a' a'" hoo
IH'^' i" Oko
où le dénominateur est le module du tableau qui y est en évidence (l). Cas particulier. — L'ordre du groupe engendré par un élément A = a* 6^ c^ , c'est-à-dire l'exposant de A est égal à
hkl
ko
otl
hkl
D{hkl, akU h^l, hk^i)
Il est facile de vérifier que ce résulat concorde avec e^ui du n° 283.
Condition pour que des éléments A, B, G d'an groupe forment une base. Cette condition est que le sous-groupe formé par ces éléments ait un ordre égal à celui du groupe total. C'est donc :
a a' c/^ a"' ho o ■^ f' ^ y'" O O l
288. Produit de deux groupes. — Dans ce qui va suivre les groupes dont il sera question appartiendront toujours à un même sur-
53a THÉORIE DES .NOMBRES
groupe, qui sera appelé le groupe tolal. Il s'agit de groupes abéliens. Le groupe formé par le seul élément unité sera nommé groupe unilé et désigné par i .
On appelle produit de deux groupes G et Gi, l'ensemble formé par tous les produits d'un élément de G par un élément de Gi on voit immédiatement que ce produit est lui-même un groupe. En particulier :
Le produit de deux groupes contient chacun d'eux comme sousgroupe. Réciproquement si K contient G comme sous-groupe il est le produit de G par un autre facteur. En effet on a toute au moins
On dit alors que K est divisible par G.
Tout groupe est divisible par le groupe i, ce qui justifie la dénomination de groupe unité donné à ce groupe.
Si deux groupes ont comme bases respectivement A, B, C, ... et Al, Bi, Cl, ... leur produit a comme base l'ensemble des éléments A.B, G, ...A„B„C„ ...
Une égalité telle que (i5) montre qu'il ne peut y avoir d'analdgie bien profonde entre la multiplication des groupes et celle des nombres. Pour en rétablir une nous ne considérerons plus à partir de maintenant la multiplication des groupes que dans un cas particulier, à savoir lorsque les deux groupes qa^on multiplie nont pas d'autre élément commun que Vêlement unité. On dit alors qu''ils sont indépendants.
Théorème. — Lorsque deux groupes sont indépendants les produits qu'on obtient en multipliant de toutes les Jaçons possibles un élément de premier par un du second sont différents entre eux. Là réciproque est vraie.
Soient A, B deux éléments du premier groupe, Aj, B, deux éléments du second et supposons que
