GROUPES INDÉPENDANTS

Cas particulier. L'égalité

AAi = 1

ne peut exister que «i A = Aj = i.

Celte propriété peut-être prise pour définition de l'indépendance de deux groupes.

Les réciproques du théorème précédent et du cas particulier sont vraies comme on le voit facilement.

Corollaire. — L'ordre du produit de deux groupes indépendants est égal au produit des ordres des facteurs (*). La réciproque est vraie.

Théorème. — Si deux groupes indépendants G et Gj ont respectivement les bases réduites A, B, ...et Aj, Bi, ... alors V ensemble des éléments A, B, ... Al, Bj, ... forme une base réduite de GGi.

On sait déjà que c'est une base. Celle base est réduite car l'égalité

aV ... A**Bf • ... = 1 entraîne

A"bP... = Ar*'B7P» ...

Puisque G et Gj sont indépendants chacun des membres de l'égalité précédente est égal à i , ce qui exige que a soit un multiple de l'exposant de A, ,£ un multiple de l'exposant de B, ..., aj un multiple de l'exposant de Al, etc.

Produit de plusieurs groupes totalement indépendants. Il faut d'abord remarquer qu'un groupe indépendant de deux autres, n'est pas toujours indépendant de leur produit. Par exemple soient A et B deux éléments d'exposant a. Considérons les trois groupes qui ont respectivement pour bases A, B, et AB, c'est-à-dire que le premier est formé des éléments i, A ; le second des éléments i, B ; le troisième des éléments I, AB. Ils sont indépendants entre eux deux à deux, mais aucun d'eux n'est indépendant du produit des deux autres.

Nous dirons que plusieurs groupes sont totalement indépendants lorsque l'égalité

AAïAj ... = I

où A désigne un élément du premier groupe, A^, un du second, ... entraîne

A = Al = A, = ... = I.

(^) On démontre facilement que Vordre du produit de dtux groupes quelconquet est un diviseur du produit des ordres des facteurs.

534 THÉORie DES NOMBft£S

Il résulte immédiatement de cette définition que lorsque plusieurs groupes sont totalement indépendants ils sont indépendants deux à deux et, plus généralement, que deux produits formés avec ces groupes sont indépendants entre eux. Par suite deux de ces groupes ou deux de ce« produits n'oni pas d'autre élément commun que i .

Lorsque plusieurs groupes sont totalement indépendants les produits qu'on obtient en prenant comme facteurs un élément du premier, un du second, etc, sont différents deux à deux.

Car de

on déduit

Donc