AA,-^ = BB,-'= ... = I

A = Ai, B=Di, ...

La réciproque est vraie, car cette propriété contient comme cas particulier la définition des groupes indépendants.

On déduit de la propriété précédente que Pordre du produit de groupes totalement indépendants est égal au produit des ordres des facteurs .

Soit A, B ... une base réduite d'un groupe G ; A,, B», ... une base réduite d'un groupe d alors si G, G,, ... sont totalement indépendants A, B, ... Al, Bi, ... est une base réduite de GGj ... La réciproque est exacte.

On dit qu'un groupe G est (i?comy)osa6/e lorsqu'on peut le mettre sous la forme d'un produit de facteurs indépendants dont aucun n'est égal à l'unité.

On désignera dans ce qui va suivre par [A, B, ... L] le groupe dont A, B, ... L est une base.

Théorème. — Pour qu'un groupe soit indécomposable il faut et il sujjît que son rang soit égal à i et que son ordre soit une puissance d'un nombre premier.

i" Si le rang nest pas i le groupe esi décomposable. Car soit le groupe de base réduite A, B, ... ; il est égal au produit [A] X [B] X .... les facteurs étant totalement indépendants puisque A, B, ... est une base réduite.

a" Le rang étant d, si V ordre n'est pas une puissance d'an nombre premier le groupe est décomposable. Car soit le groupe [A], et supposons que