DÉCOMPOSITION DES GROUPES EV FACTEURS
-son ordre, c'est-à-dire l'exposant de A, contienne plus d'un fadeur premier, soit p*q"r ' ... cet ordre. Je dis que
(,6) [A] = [Af.']xMx[v"']...
En effet on peut déterminer Ç, |jl, C. ••• de façon que
p"5 -h q^y\ -h r^C -+-... = « n étant un entier quelconque. Donc
Ceci vérifie l'égalité (i6). Je dis de plus que [a^*], [a'^], [a'*'']... sont indépendants. En effet l'égalité
(A.")UA«^)^(A'f... = .
entraîne
p" Ç -h çV -+-r"C -+-...= o (mod p*g3rï ...) d'où
k^ o (mod gPr^ ...) Tj ^ 0 (mod p^^r^ ...) : = o(mod/qP ...).
Or qf^r^ ..., p^r^ .,., p'gP ... sont justement les exposants deA''
3** Le rang étant i e< l'ordre étant une puissance d'un nombre premier, -le group» est indécomposable.
Soit le groupe [a] do rang i et d'ordre />". Tout sous-groupe est de
la forme i^'* \. Supposons donc qu'on ait
Mais
Il faut donc que
fA^<'''"')]=[A]
ce qui exige que D{n, n') soit premier à pa, donc au moins l'un d«s ■deux entiers n, n' par exemple n n'est pas divisible par p. Mais alors
[A"J = [AJ de sorte que l'un des deux facteurs du second membre de l'égalité (17) est [A] lui-même. Donc [A] est indécomposable. Rapprochant ce théorème de celui du n° 282 on en déduit que tout groupe abélien est décomposable en un produit de facteurs indécomposable».
289. Caractères des éléments d*un groupe. — Nous nous proposons, étant donné un groupe abétien, de faire correspondre à chaque élément A de ce groupe un nombre /(A) de façon que pour deux éléments quelconques A, B, on ait
X(AB) = x(A)x(B)
les nombres y n'étant pas tous nuls. Le nombre x(A^) s'appelle le caractère de l'élément A.
Pour cela soit Aj, Aj, ... A„ une base du groupe, k^, /c,, ... k^ les exposants respectifs de Ai, A2, ... A^. Soit
u)i une certaine racine de a;*j = i ta-i une certaine racine de a;*2 = i , etc. Nous prendrons
y (Ai) = 0)1 x(Aî) = Wî ... x(An) = wn puis
On voit sans peine que ces nombres satisfont à la condition imposée. Ces nombres sont d'ailleurs complètement déterminés malgré l'indétermination de otj, «2, ... En effet <x^ est déterminé au module /cj près, donc
o), ' est déterminé, etc.
On a ainsi un système de caractères correspondant à un choix de <à^, toj, ... (o„. Comme ily a /cj façons de choisir tOj, /fj façons de choisir u)2, etc, il y & k^k^ ... kn systèmes de caractères, c'est-à-dire un nombre égal à Tordre du groupe. Deux de ces systèmes sont différents, car ils diffèrent au moins par le caractère de l'un des éléments Aj, A2. ... A„, Nous allons démontrer qu'il n'y a pas d'autre systèmes de caractères.
1" Dans tout système de caractères, le caractère de Vêlement unité est i. Car on doit avoir
x(A) = x(i)x(A) pour tout élément A du groupe, et comme x(A) n'est pas nul, par hypothèse, pour tout élément A du groupe il en résulte :
CARACTÈRES DES ELEMENTS d'uN GROUPE 537
a' Soit x(Ai) = wj. On en déduit :
et puisque A/ = i, il en résulte
Donc u)i est une racine de x ' = i ; de même w, est une racine de a*2 = 1, etc.
Donc il n'y a pas d'autres systèmes de caractères que ceux trouvés plus haut. Parmi ces systèmes on peut remarquer celui obtenu en prenant co^ = wj = ... = ii>„ = I. Alors y(A) = i quel que soit l'élément A.
Cherchons les systèmes de caractères réels. On les obtient évidemment en prenant pour les w les valeurs db i . Tout caractère est alors égal à ± [ . On ne peut d'ailleurs prendre tOi = — i que si A-, est pair. On voit alors finalement qu'en appelant Cf^^i le dernier des invariants e qui soit impair le nombre des systèmes de caractères réels est 2'"''+^. Si tous les invariants sont impairs il n'y a qu'un système réel qui est le système i, i, ... i.
Remarque. — Considérons un système de caractères pour un groupe abelien G. Ces caractères forment un groupe T. A toute relation
entre des éléments de G correspond la relation
entre les éléments correspondants de r. Mais la réciproque n'est pas vraie. Il peut y avoir entre les éléments de r d'autres relations que celles-là. Pour cette raison les deux groupes ne sont pas en général isomorphes.
Exemple. — Pour le système de caractères i, i, ... on a /(A) = x(B) quels que soient A et B.
2° Soit le groupe formé par les quatre éléments i. A, B, AB, avec les relations
Considérons le système de caractères
X(i) = i x(A) = i x(B) = -i x(AB) = -i.
On a les relations
/(A) = x(0 z(ÂB) = x(B)
qui ne correspondent pas à des relations entre éléments du premier groupe.
Théorème. — Pour un système délerminé de caractères la somme
^ X(^) éi^f^à.ae à tous les éléments du groupe est nulle, sauf pour le système
1, 1, ... i pour lequel la somme ^ ^(A) est égal à l'ordre du groupe.
La seconde partie du théorème est évidente puisque lorsque -/^ est le caractère principal on a /(A) = i quelque soit A. Pour démontrer la première partie écrivons :
les sommes étant entendues par rapport aux a.
Les w n'étant pas tous égaux à i , puisque le système de caractères dont il s'agit n'est pas le système i, i, ... i, on peut en particulier supposer w^ ^ i .
Alors
2 x(a^) = 1 + co, + cî + ... + ^r' = "'^ ~ ^
<e qui démontre le théorème.
Théorème. — Soit A un élément déterminé. La somme 7^7 (A) étendue
à tous les caractères est nulle, sauf si A est l'élément unité auquel cas cette somme est égale à l'ordre du groupe.
La seconde partie du théorème est évidente puisque /(i) = 1 quel •que soit x et que le nombre des caractères est égal à l'ordre du groupe.
Pour démontrer la première écrivons :
les a étant déterminés et les sommes s'étendant à toutes les valeurs possibles des w. Or les a ne sont pas tous nuls puisque A n'est pas l'élément unité. Alors ^0)^1=0 ce qui démontre le théorème.
