MM
ou
TU \f M
On voit qu'étant donnés x, y, ... ton peut calculer X, et que réciproquement étant donné X on peut calculer x, y, ... t puisque
— , —, ... — sont premiers dans leur ensemble. m n r ^
Remarque. — Il n'y a pas d'autres groupes finis, formés de nombres,
que les groupes précédents. Car soit a un élément d'un tel groupe
•et n l'ordre du groupe on aura
Donc a est une racine de l'unité.
54o THÉORIE DES NOMBRES
201 . Groupe des classes d'entiers premiers à un module m (279. III). — Ce groupe est d'ordre (p{m). Ses propriétés se tirent des résultats du chapitre II. Soit d'abord m de l'une des formes suivantes :
a'^ ({ji <; 3) ; p*, 2/>" (p nombre premier impair).
On a vu (n*' 20 qu'il admet des racines primitives. Soit g l'une d'elles. La classe C^ constitue une base réduite. Le groupe est donc de rang i .
Soit maintenant m = a'^ (|j. > 3). Les 9(2'^) classes relatives à ce module sont
D'ailleurs C a == C, x Ca. Donc les classes C i et C3 forment une base réduite. C'est d'ailleurs une base réduite parfaite, car
l'exposant de C3 qui est 2"^"* est divisible par celui de C, qui est 2.
Enfin si m n'est d'aucune des formes précédentes, il peut se décomposer en un produit de facteurs qui soient de ces formes et qui soient premiers entre eux deux à deux. On n'a donc qu'à résoudre le problème suivant :
Soient n, n', ... premiers entre eux deux 'à deux; on a une base réduite pour le groupe des classes d'entiers premiers à n :
Cj, Cij ...
une base réduite pour le groupe des classes d'entiers premiers à n' t
Ca' , Cf » •••
etc.
former une base réduite pour le groupe des classes d'entiers premiers à nn' ...
Pour cela on détermine des entiers A, B, .,. par les conditions
A ^ a (mod n) ^ i (mod n!) ^ i (mod n") ... B ^ 6 (mod n) ^ i (mod n') ^ i (mod n") ...
A' ^ 1 (mod n)^a' (mod n') ^ i (mod n") ... B'= 1 (mod n) = b' (mod n') = i (mod n") ...
GROUPE DES CLASSES d'eNTIERS PREMIERS A. UN MODULE m 54 1
Les classes C^, Cg, ... C^., C3', ... formeront une base répondant à la question.
1° C'est une base du groupe des classes d'entiers premiers à nn! ... En effet, soit d un tel entier, il est premier h n, n' ... Donc il existe des exposants a, j3, ... «', /3', ... tels que
(18) d = 0*6^ ... (mod n) = a'-^V^' ... (mod n') = ..
d'où
A"B^ ...=d (mod n) = 1 (mod n') = 1 (mod n') = ... A'*'B'^' .. . = 1 (mod n') = d (mod n!) = 1 (mod n") = ...
d'où
A"b3 ... A'*'B'P' ... A'^B'^" ... = d (mod nn'n" ...) • d'où .(•9) (Cj1cjr..(c,)"'(cjr.. = c.
2° C'est une base réduite. Car en faisant les calculs précédents en sens inverse on voit que l'égalité (19) entraîne l'égalité (18). Donc Cj étant donnés a, j3, ... a', j8', ... sont déterminés à des multiples près de certains exposants.
L'exposant de C^ dans le groupe relatif au module nn' ... est le même que celui de Ga dans le groupe relatif au module n, etc.
Les indices d'une classe Ch relatifs à la base ainsi déterminée sont les mêmes que ceux de l'entier k définis au n" 21.
Le nombre des éléments de la base qu'on vient de déterminer est égal au nombre des facteurs premiers distincts de m si m est impair, ou divisible par 4 mais non par 8 ; il est égal à ce nombre diminué de i si m est simplement pair ; enfin il est égal à ce nombre augmenté de i si m est divisible par 8.
La base réduite ainsi déterminée n'est pas, en général, parfaite.
Je dis que néanmoins le nombre de ses éléments est égal au Tang du groupe.
En effet les exposants de ces éléments étant tous divisibles par :2 on a ei > 2 (n° 281).
Exemple. — Soit le module 36o = 2*. 3*. 5.
Pour le module 2' on a la base — i,3 » 3" » a
On détermine A, B, A', A" par les conditions
A ^ — 1 (mod 8) ^ 1 (mod 3') ^ 1 (mod 5) B = 3 (mod 8) = 1 (mod 3*) = 1 (mod 5) A' = 1 (mod 8) = a (mod 3») = 1 (mod 5) A"= 1 (mod 8) = 1 (mod 3») = 2 (mod 5).
On trouve
On a donc la base
dont les éléments ont comme exposants a, 9, 6, 4. Le rang du groupe est 4.
En appliquant la méthode donnée plus haut on trouve la base réduite parfaite :
C i, Cl9, C-,, Ct7
dont les éléments ont comme exposants 2, 2, 2, 12.
Groupe des classes primitives de déterminant donné. — Ce groupe sera étudié dans le chapitre suivant.
Groupe des genres des classes primitives de déterminant donné. — Ce groupe est d'ordre égal à 2 (n° 215).
L'élément unité est le genre principal. Tous les autres sont d'exposants 2, par conséquent bilatères. Une base réduite est formée de X — i éléments.
L — Dans an groupe ahélien combien y a-l-il d'éléments qai appartiennent à l'exposant e^ ?
Réponse : (f>r(Ci), ^r désignant l'indicateur du r« ordre (I. 4i 1), r est le rang du groupe.
II. — Un groupe abélien G étant décomposé en un produit de facteurs totalement indépendants G = HK ... ; pour trouver les racines ^èraos de l'unité dans G, il suffît de trouver ces racines respectivement dans H, K, .... puis de multiplier, de toutes les façons possibles, une racine m*™' dans H par une racine m*"» dans K, etc. Frobenius und
SxiCltELBKRGER, /. T. Q. M., t. 86 (1879), p. 226).
m. — Soit
les entiers m', m", ., étant premiers entre eux deux à deux. Pour trouver les racines m*""*» de l'unité dans un groupe il suffit de trouver séparément les racines m'*™»», les racines m"*""®*, etc., puis de faire tous les produits possibles d'une racine m'*""" par une racine m"*"», etc. (Frobenius und Stickklberger, loc. cit.).
IV. — Pour qu'un groupe abélien soit de rang i il faut et il suffit qu'il n'existe pas d'entier m tel qu'il y ait dans le groupe plus de m racines m*""*» de l'unité (Gauss, D. A., 84)-
V. — Généralisation du théorème de Wilsonn pour un groupe abélien quelconque (Voir n" 15 et exercice IX du chapitre II). Le produit des éléments d'un groupe abélien est égal à i, sauf si l'équation x' = 1 a dans ce groupe une racine et une seule différente de 1. Dans ce cas le produit en question est égal à cette racine. (Frobenius und Sticxbl-
BERGER, loc. cit.).
VI. — Etant donné un groupe abélien, on demande le nombre de racines de l'équation x"» = 1 qui sont telles que la première puissance d'une de ces racines qui soit puissance m*™* parfaite, soit la m*""*.
Réponse : Soit m = 0*6*^ ... la décomposition de m en facteursP 'derniers. Le nombre cherché est
-TT F(a')' - F{a*-')¥(a-+') ii F(a«)
le signe II s'étendant à tous les facteurs premiers a, 6, ... (Frobenius und Stickelbkrger, loc. cit., p. 245).
VII. — On considère un sous-groupe d'un groupe abélien. Combien y a-t-il dans le groupe total de systèmes de caractères tels que les caractères des éléments du sous-groupe soient tous égaux à i ?
Réponse : Un nombre égal à l'indice du sous-groupe.
VIII. — Nouvelle démonstration de l'existence des racines primitives pour les modules p'* {p nombre premier impair).
L'ordre du groupe des classes est (p — i )/'"'" S il faut démontrer que son rang est i .
Or ejCj ... er = {p — Op"~^ contient comme facteurs premiers ceux de p — i, et /) si a > i .
Soit a un facteur premier de p — i et considérons l'équation
Le nombre des racines est a'"~''+* (n° 284), d'autre part elle a a, racines (n° 25, i" Applic). Donc h s=z r {e^ étant le premier des e qui soit divisible par a).
On voit de même que h' = r, e^ étant le premier des e qui soit divisible par p. On conclut de là qu'il n'y a qu'un e différent de i , etc.
De même pour le module a*.
