AB = (

Elles sont toutes quatre bilatères. Il n'y a qu'une classe carré parfait, la classe principale.

293. Théorème. — Le nombre des genres correspondant à un déterminant donné est inférieur ou égal à celui des classes bilatères (•).

Soit g le nombre des genres. Prenons dans chaque genre une classe et une seule et soient

I, Cl, C2, ••• Cj,i

les classes obtenues, la première étant la classe principale appîurtenant au genre principal.

Soit p le nombre des classes du genre principal et soient

I» Tj, r2, ... r^i ces classes. Considérons le tableau :

!i r^ Ta ... rp i Cl Cir^ CiFg ... Girp i

Gg—i Cj i ij ... Cij—ir^— 1.

Dans ce tableau la première ligne contient toutes les classes de genre principal.

La seconde contient des classes de même genre que C, et elle

les contient toutes.

En effet soit G une telle classe, soit p- = F, F sera de genre

principal et l'on aura C = CiF.

La troisième ligne contient des classes du même genre que C2 et elle les contient toutes, etc.

(*) On démontrera plas loin qus le nombre des genres est égal k celui des classes bilatères.

CALCUL DU NOMBRE DES CLASSES PRIMITIVES BILATERES, ETC. 5fl'f

De plus on voit que deux classes du tableau sont différentes. En effet si elles ne sont pas dans la même ligne elle ne sont pas de même genre, et si elles sont dans la même ligne, elles sont les produits d'une même classe par deux classes différentes.

Il en résulte que le tableau est le tableau, sans omission et sans répétition, de toutes les classes du groupe G et l'on a :

(2) pg = n.

Soit q le nombre des classes qui sont carrés parfaits. Comme toute classe qui est carré parfait est du genre principal on a :

Soit enfin b le nombre des formes bilatères. On a (n° 292) <4) bq = n. ^

Comparant les relations ('a), (3) et (4) on a (5) ^ .= ^ < ^ = 6.

Remarque. — La considération du tableau (i) prouve que dans chaque genre il y a le même nombre de classes.

294. Calcul du nombre des classes primitives bilatères de déterminant donné. — Nous allons déterminer le nombre b introduit dans le n" précédent. INous avons vu (n* 177) que dans une classe bilalère il y a des formes bilatères simples soit de première espèce (a, o, c) soit de seconde espèce (a, a, c) ; nous allons chercher combien il y en a.

Pour cela nous allons chercher les conditions pour que deux formes bilatères soient de môme classe. Pour résoudre cette dernière question nous distinguerons, suivant qu'il s'agit de formes définies ou de formes indéfinies. Nous laisserons de côté les classes de discriminant 4 et 3. On sait en effet que pour chacun de ces discriminants il n'y a qu'une classe qui est bilatère.

Formes définies. Théorème I. — Deux formes définies bilatères simples de première espèce (a, o, c) et (a', o, c') sont de même classe lorsque a = a' et c = c' ou lorsque a = c' et c = a! et dans ces cas seulement.

Considérons les deux formes

(6) (a, o, c) et (c, o, a) et les deux formes

(7) (a', 0.0 et (c',o,a').

Les deux formes (6) sont de même classe et Tune d'elles est réduite.

De même pour les deux fprmes (7). Or deux formes'définies réduites ne peuvent être de même classe que si elles sont identiques. Il faut donc que l'une des formes (6) soit identique à l'une de» formes (7) ce qui démontre le théorème.

Thérème II. — Deux formes définies bilatères simples de seconde espèce {a, a, c) et (a', à, c') sont de même classe lorsque

a' =a et c' = c ou lorsque

a' = 4c — 0, et c' = c

et dans ces cas seulement.

Considérons les quatre formes

lyt = (a, à, c) ^° ~ ^ j = (ô, ac — a, c)

j/j = (a. a, c) y^ j °^jz=z{c,a — ac, c) /3 = {a, a, c) (^^ ^ — i) ~ ^^^ — a, 4c— a, c) et les quatre formes (9) f = («'» «'» c')

Les formes (8) sont de même classe et l'une d'elles est réduite,, à savoir :

La première si o < a <; c, la seconde si c < a < 2c, la troisième si 2C < a <C 3c, la quatrième si 3c < a •< 4c. (On a a <C 4c parce que la forme a, a, c est définie positive).

De même pour les formes (9). Donc l'une des formes (8) est identique à l'une des formes (9). D'autre part J' ne peut être