CALCUL DD NOMBRE DES CLASSES PRIMITIVES BILATÈRES, ETC

identique à/j, car cela entraînerait a:= c^ c'est-à-dire que /serait (a, a, a), c'est-à-dire (i, i, i) puisqu'elle est primitive. Or ce cas -est exclu. On voit de même que / ne peut être identique à /,. Il -en résulte que

/' ne peut être identique qu'à / ou /j

On voit de même que

/'s ne peut être identique qu'à / ou /j

fi « /. Jr

D'autre part on voit que les deux derniers cas rentrent dans les deux premiers parce que si// est identique à /j, alors / est identique à /"; et si// est identique à// alors // est identique à/, etc.

Donc l'une des formes f ou /^ est identique à l'une des formes f ou // ce qui démontre le théorème.

Théorème IIl. — Deux formes définies bilatères simples tune •de première espèce (a, o, c) l'autre de seconde [a!, a\ c') ne peuvent 4tre de même classe.

Considérons les deux formes

Ho) (a, o, c), (c, 0, a)

■et les quatre formes

<i i) (a', a', c'). (c', 2c' — a', c'), (c', a' — id , c\

On verrait comme plus haut que pour que (a, o, c) et (a', a', c') isoient de même classe il faudrait que Tune des formes (lo) fut identique à l'une des formes (ii). Cela n'est possible que dans i'une des hypothèses suivantes :

a' = o ; a' =s ac' ; a' = 4c'.

Alors la forme (a', a', c), étant primitive, se réduirait à l'une •des suivantes :

Or ces trois cas sont exclus, le premier et le troisième parce •qu'il ne s'agit que de formes à discriminant positif; le second |)arce que (a, 2, i) est de discriminant a-

55o THÉORIE DES NOMBRES

Corollaire. — Dans chaque classe définie positive bilatère il y a deux formes bilatères simples qui sont ou bien

ou bien

D'ailleurs (a, o, c) ne peut être identique à (c, o, a) que si a = c = I , et [a, a, c) ne peut être identique à {!^c — a, 4c — a, c) que si a = 2C = 2. Dans ces deux cas la classe est celle de la forme (i, o, i), cas exclu.

Finalement, pour compter le nombre des classes primitives bilatères appartenant à un discriminant donné positif, différent de 3 ou 4, il faudra chercher combien il y a de j ormes bilatères simples appartenant à ce discriminant, et diviser le résultat par i.

295. Formes indéfinies. — Voulant appliquer la condition donnée au n° 174 pour que deux formes indéfinies soient de même classe nous allons d'abord chercher comment est constitué le développement en fraction continuelle de la première racine d'une forme bilatère simple. Il y a plusieurs cas à considérer. Nous mettrons en évidence les signes des coefficients, dans ce qui va suivre a et c représenteront des entiers positifs.

Formes bilatères simples de première espèce. V^Cas.^o\\.(a, o, — c)

avec a "< c. La première racine est + W - , le nombre sous radical

étant plus grand que i .

Le développement est (n° 116)

(12) Y ^ = (ao,ai,...ai,2ao...)

2' Cas. Soit [a, o, — c) avec a >» c. La première racine est -\- i/-

le nombre sous radical étant plus petit que i . Le développement est

Y - = (o, Oq. Oi, ... oi, 2ao ...).

3* Cas. Soit ( — a, o, c) avec a -< c. La première racine est — ^-