CALCUL DU NOMBRE DES CLASSES PRIMITJVES BILATÈRES, ETC

Le développement est :

— y/- = [— (flo + i), i,ai— i,a,, ...Cl, aoo, fli...] Ceci suppose fli ;z^ i . Si ûj = i le développement est :

— y ^ = [— (oo H- i), a, + 1,03, ...Cl, 200,01,02...

U'Cas. Soit ( — a. o, c) avec a >c. Le développement de la première racine — v/ - est alors

(— 1, 1, Go— I, oi, ...ai,aao ...) siao ;z^ i et

si Oo = I .

Formes bilatères simples de seconde espèce.

5'Ca5.Soit(a,a, — c). La première racme est Le

développement est

(oo, oj. ... oi, aoo -h 1 ...).

6' Cas. Soit (a, a, c). La première racine est Le

développement est

(— I, I, 1, Oo, Oi, ... a^, aoû -h I ...)-

7* Cas. Soit( — a,— a,c). La première racine est .

Le développement est

(— (oo + 2), 1, -Oi — 1, Oo, ... Oi, aoo -h 1, Oi ...) si ai ;zf I et si a, = i le développement est

( — (flo -^ 2), 1 -h «2, «3 ... fZi, :*ao H- 1, Oi, «2, •••)

8'Cas. Soit ( — a, — a, — c) .La première racine est — .

55a THÉORIE DES NOMBRES

Le développement est :

(o, a, Oo, fli ••• «1. aûo + I •••)•

Ceci posé nous allons prendre successivement chacune de ces huit espèces de formes et montrer que, pour chacune il y a, outre elle-même, trois forme de même classe. Pour chaque espèce de forme il y aura plusieurs cas à considérer, cela fera donc un grand nombre de cas. Nous nous bornerons à en développer quelques-uns, le lecteur complétera (*).

1° Donnons-nous une forme d'abord rentrant dans le V cas, supposons de plus le nombre de termes de la période impair soit ai, ... ap iap i ... ai2ao cette période.

On a une forme équivalente en faisant commencer la période à a, ou Os, ... Mais en supposant que ai, ... ai, aao soit la vraie période et non un ensemble de plusieurs périodes, on voit que la période transformée en la faisant commencer k azou as ... ne peut plus se composer d'une partie symétrique suivie d'un élément. Le nombre des éléments de la période étant impair deux formes qui ont cette période sont de même classe.

Ceci posé la forme de première racine

(oo, a,, ... ai, aoo ...)

est équivalente d'abord à elle-même, puis à une forme rentrant dans le second cas à savoir celle de première racine

(o, Oo, Cl ... a,, aoo ...)

et de même à une forme du troisième et à une du quatrième cas. 2° Soit encore une forme du premier cas, le nombre de termes de la période étant ^ 2 (mod 4). soit

«i ••• û/i-i» fl/t, «A-i ... Oi, aoo {h impair).

Dans ce cas la période se composera encore d'une partie symétrique suivie d'un élément, en la faisant commencer à l'élément a/,i qui suit an.

Ici deux formes qui ont cette période ne sont équivalentes que si les éléments qui précèdent dans les deux développements un

(^) Nous donnerons plus tard une démonstration plus élégante.