CALCUL DU NOMBRE DES CLASSES PRIMITIVES BILATÈRES, ETC

d' = -r ce qui fait solutions, etc. Finalement le nombre

de solutions est i H- y + ' ~ 4- ... ou 2^ solutions.

Pour avoir le nombre b des classes bilatères il faut [diviser ce nombre par 2 .

Donc 6 = 2'^""' . Comparant ce résultat avec celui des n** 212 et 215 on voit que b = 2 > g, ). étant le nombre de caractères et g le nombre de genres, résultat déjà trouvé au n° 293.

2" Cas. D pair et par suite D ^ o [mod 4). — Soit de plus

D' = ^ = — I ou 3 (mod 8).

Dans ce cas il y a des formes bilatères simples de première espèce (a, 0, c) pour lesquelles on doit avoir

ac = D'.

Leur nombre est égal au nombre de façons de décomposer D' en deux facteurs premiers entre eux. Les facteurs premiers de D' sont les facteurs premiers impairs de D', leur nombre est désigné par V.

Le nombre de formes bilatères simples de seconde espèce

est 2 '' .

D'ailleurs il n'y a pas de formes bilatères simples de seconde espèce (a, a, c). Car on devrait avoir

Il faudrait que a fût pair et alors c impair. Posant a = 2a',

égalité impossible car le premier membre est ^ (mod A) à 0 ou à 1, ce qui n'est pas le cas pour D'.

La conclusion est la même que dans le premier cas 6 = 2 *"'.

3« Cas. D = 4D' avec D' = i ou — 3 {mod 8).

On trouve comme dans le premier cas 2^ formes bilatères simples de première espèce. Mais, de plus, on trouve ici des formes bilatères simples de seconde espèce. Car on est conduit comme dans le cas précédent à poser

a = :ia' c = 2c' -f- I a'{lic' + 2 — a') = D'.

Il faut poser D' = dd' et prendre

La valeur de c' est entière, car la condition dd' ^ i ou — 3

(«lod 8) donne

d = d' = rh i (mod 4)

•donc

d -f- cT — 2 ^ 0 (mod 4). '

On a alors

La condition que a et c soient premiers entre eux donne que d et d' doivent l'être. On trouve donc autant de formes bilatères simples de seconde espèce que de façons de décomposer D' en deux facteurs premiers entre eux. Cela fait encore 2^ formes. On trouve donc en tout 2'"'"' formes bilatères simples, d'où 2^ classes bilatères. Ici v = X -+- i. Donc encore 6 = 2'^"'.

4» Cas. D = 4D' et D' = ± 2, 4 (mod 8).

Il y a des formes de première espèce {a, 0, c) pour lesquelles on a

ac = D'

leur nombre est égal au nombre de façons de décomposer D' en deux facteurs premiers entre eux. Or ici D' contient le facteur 2, il a donc v+ i facteurs premiers difierents et cela donne 2'''^' formes de première espèce.

Quant aux formes de seconde espèce il n'y en a pas, car on voit comme dans le deuxième cas qu'il faudrait poser

a== aa' c = ac' + i

-et

D' étant pair il faudrait que a' = 2a" et alors le premier membre «erait ^ o (mod 8) ce qui n'est pas le cas pour D'. On trouve encore b = 2^~'.

NOUVELLE DÉMONSTRATION DE LA Loi DE RÉCIPROCITÉ, ETC. 667

5* Cas. Soit enfin D = 4D' et D' = o {mod 8). — On trouv& comme dans le cas précédent 2'"^' formes de première espèce. Pour celles de seconde espèce on a trouvé qu'il faut poser

a' = tia!' c = ac/ 4- 1 et a''{2c' + 1 — a*^ = D'. Donc il faut poser

d t\ d étant de parités différentes. Alors

I-a condition que a et c doivent être premiers entre eux donne que d et d doivent l'être. Cette condition entraîne la précédente que d et d' doivent être de parités différentes puisque dd = D' est pair.

On trouve alors autant de formes de seconde espèce que defaçons de décomposer D' en deux facteurs premiers entre eux. Comme D' a v facteurs premiers impairs et aussi le facteur 2, cela fait 2'''^' solutions. En tout on trouve 2^"*"^ formes bilatères simples, d'où 2'''^' classes bilatères, et finalement encore

Formes indéfinies. — Le calcul est à peu près identique. Il y a cette différence que a et c ne sont pas forcément positifs. Par conséquent lorsqu'on posera D = rfcT ou D' = ac, etc., les facteurs pourront être pris de signes quelconques. Donc on trouve deux fois plus de formes bilatères simples que dans le cas précédent. Mais comme il y a quatre formes bilatères simples par classe au lieu de deux le résultat final est le même. Donc toujours

297. Nouvelle démonstration de la loi de réciprocité et des théorèmes complémentaires. — Les théories précédentes fournissent une démonstration de la loi de réciprocité et des théorèmes complémentaires (n°' 193, 194).

Nous venons de voir (n° 293) que le nombre de genres correspondant à un déterminant donné est inférieur ou égal au nombre de classes

bilatères c'est- à-dir^ à 2 , et ce résultat ainsi démontré est indé-.

pendant de la loi de réciprocité (Ce résultat a aussi été démontré au n° 215, mais la démonstration donnée alors dépendait de la loi de réciprocité.

i""^ théorème complémentaire

Il suffit de démontrer que ( ) ^^ ^ entraîne p ^ i (mod 4) et

réciproquement.

Supposons que f ] = i. On peut alors déterminer a et 6 tels

a^ -{- i = bp.

Considérons la forme (6, aa, p). Son discriminant est 4, donc elle est de même classe que (i, o, i). Doncp est représentable primitivement par (i, o, i). Donc

De plus p est impair, donc p ^ i (mod 4).

Réciproquement soit p ^ i (mod 4). Considérons ( — i, o, p). Son déterminant est 4p ; on a donc X = i (n° 296), donc il n'y a qu'un genre qui est le genre principal. Or la forme ( — i, o, p) représente primitivement — i . Donc

2* théorème complémentaire

Il suffit de démontrer que ( - 1 = i entraîne p ^ ± i (mod 8) <et réciproquement.

Supposons que | - J =: i . On peut déterminer a et & tels que a^ — 2 = bp.

Considérons la forme {b, aa, p). Son discriminant est 8, donc elle est de même classe que (i, o, — 2). Donc