NOUVELLE DÉMONSTRATION DE LA LOI D€ BÉCIPROCIXÉ, ETC

De plus p est impair, donc p ^ dz i (mod 8). Réciproquement soit/) ^ ± i (mod 8). Si/) ^ i (mod 8) on considère (2-, I, — ^ "7 j ; si /) = — 1 (mod 8) on considère

1 2, I, ^ ^ ^ I et dans chaque cas on achève la démonstration comme

pour le premier théorème complémentaire.

Loi de réciprocité

im)

i' Supposons (^ I = I et g ^ 1 (mod 4). On. peut déterminer a et

b tels que

a^ — q = bp.

Considérons (6, 2a, p) de déterminant 47. Il n'y a qu'un genre,

donc { - 1 = 1 et le théorème est démontré. \V

2" Supposons (1\=i et q^ — 1 (mod 4). Considérons encore

{b, 2a, p) de déterminant liq. Il y a pour ce déterminant deux genres au plus. Je dis qu'il y en a deux. En effet il y a d'abord le genre principal, et ensuite celui de la forme ( — i, o, g) qui n'est pas le genre

principal, car cette forme a pour caractères ( — i) ^ = 1 et

On voit ainsi que pour toutes les formes de déterminant 4^ les deux caractères sont égaux. La considération de (b, 2a,/)) donne donc

aussi

3° Maintenant le théorème est démontré quand ( - ) = i et par suite quand (f-j = i , puisque rien ne distingue p de q dans l'énoncé. Reste à le démontrer quand {"\ = (^\ = — i, c'est-à-dire, qu'il

faut démontrer que, dans ce cas, l'un des entiers/), 5 est^ i (mod 4). Autrement dit il faut démontrer que les hypothèses :

/) = g = — 1 (mod4), (p) = ~" ^ *

56o THÉORIE DES NOMBRES

entraînent

Pour cela on considère (p, o, — q) de déterminant Upq, il y a deux caractères, donc deux genres au plus. On voit qu'il existe en effet deux genres : le genre principal et celui de la forme ( — i , o, pq)

dont les caractères sont ( ^^^— ) et ( ~-t~ ) c'est-à-dire — i et — i .

Ainsi pour toutes les formes de déterminant kpq les deux caractères sont égaux. La considération de {p, o, — q) donne pour le caractère

relatif à /) la valeur ( ^-^ ) "^ ( j( ^ ] = i . On a donc aussi

298. Base réduite fondamentale du soua-groupe des formes bilatères. — D'après ce qui a été dit au n° 84 on aura une base réduite fondamentale du sous-groupe des formes bilatères en considérant une base fondamentale du groupe des classes

Cj, C2, ... Qr

y prenant celles de ces classes dont l'exposant est pair (et qui sont les dernières dans la suite), soient

et les élevant aux exposants — ... -^

;vaui itujL CApusauis — ...

Ainsi

Ci • CÎ+. ...c;

est une base réduite fondamentale du groupe des classes bilatères. Chacun des éléments de cette base étant d'exposant 2 le nombre des classes bilatères est 2'"''+*.

Mais on sait qu'il est égal à 2^~^. Donc h = r — X -h 2.

et la base réduite fondamentale cherchée est

i \ fr

TOUTE CLASSE DU GENRE PRINCIPAL EST CARRE PARFAIT 56l

299. — Nous savons déjà que toute classe carré parfait est du genre principal. Nous allons maintenant démontrer la réciproque : Toute classe C du genre principal est carré parfait (*).

Lemme. — On peut trouver dans G une forme dont le premier coefficient : i° soit premier à 2A ; a'' nait pas de facteur carré; 3° ait moins de 1 facteurs premiers différents.

i' Nous pouvons prendre dans G une forme dont le premier coefficient soit premier à 2A (no 183).

2° Supposons que le premier coefficient de la forme ait des facteurs carrés et appelons le e'a, a étant son noyau. Soit (e^a, 6, c) la forme en question. On a

(e*a, 6, c) = (a, 6, e^c) {e, b, eacy.

Pour démontrer que (e^a, b, c) est carré parfait, il suffit de démontrer que (a, 6, e'c) l'est.

D'ailleurs e^a étant premier à 2A par hypothèse, a Test aussi.

On a donc une forme jouissant des deux premières propriétés ■annoncées.

3*^ Supposons que le premier coefficient de cette forme (a, 6, c) ait plus de ). — i facteurs premiers difl'érents. Il possède alors au moins 2 diviseurs, soient a, a', a",... ces diviseurs.

Gonsidérons les formes :

«t le tableau :

Il G* D2 ... K* r rc* rD» ... rR^ A AG* AD* ... aK*.

Q-) Ce théorème fondamental est dû à Gauss qui l'a démontra par la consi- <lération des formes quadratiques ternaires {Disq. Arithm., n" 286). = Wkrkb Lejeune DiRiCHLET en a donné une démonstration fondée sur des considérations analytiques J.r.a. M.= Wbrke, i,p. 4i3 et Varies, ub. Zahlenth.heraasgeg. V. R. Dedekind, § ia5. — H. Weber en a donné une fondée sur la théorie des nombres algébriques Lehrhach d. Algeb. S' Band. EHiptisch. Funkt. h. Algebraiseh. Zahlen. a'* Auflage, p. 409. M. La Vallée Poussin en a, le premier donné une démonstration s'appuyant uniquement sur la théorie des formes binaires. Mém. cour, et autres mim. publ, par VAc. roy. de Belgique, 53 (1896) La démonstration que nous donnons est due à M.. Merteks, J, r. a. M, lag (igoS) p. 181.

Cahih. — Théorie des nombres, t. II, 34

Dans ce tableau la première ligne est composée des classes carré» parfaits, il y en a -yiiY, n étant le nombre des classes primitive^

de déterminant A ; le tableau est constitué comme il a été expliqué au n*' 272, il contient toutes les classes primitives de déterminant A, il a 2^—' lignes.

Puisqu'il y a au moins a'^ formes (i3) on peut trouver deux de ces formes dont les classes soient dans une même ligne da tableau ii4.

Soit par exemple :

c(o., 6. "-') = rc^ C(a'. 6, ?f j = rD«.

C(a, b, c)c{<x, 6, ^)G(ct', b, ^^ = C(a. b, c)rH:'D\

Pour démontrer que C(a, b, c) est un carré parfait il suffit donc de démontrer que

l'est. Mais ceci est une classe qui représente, primitivement ou non^ l'entier a«a' et par suite, qui représente primitivement un entier de

aaa'

la forme -t^ . On peut donc y trouver une forme ayant comme

premier coefficient -j^ . Et si --r- a des facteurs carrés, on peut remplacer cette forme par une autre dont le premier coefficient T2-2 n'en a plus. Ce coefficient n'a certainement pas plus de facteurs premiers que a, puisque « et a' sont diviseurs de a.

Je dis qu'il en a moins. En effet a, a, a' n'ont que des facteurs premiers simples. Il y a au moins un de ces facteurs qui se trouve dans l'un des deux nombres a, ex! et pas dans l'autre (puisque a et a' sont différents). Ce facteur se trouve aussi comme facteur simple

dans a, donc il est au carré dans aaa'. Comme ^^^ n'a que des

facteurs simples, c'est que ce facteur disparait dans la division de aaa' par d'e^. Le lerame est donc démontré.

Nous allons maintenant démontrer le théorème de proche e»