TOUTE CLASSE DU GEXBE PRINCIPAL EST CARRE PARFAIT

proche en rangeant les déterminants d'âpre leurs degrés. Nous appellerons degré d'un déterminant la quantité suivante. Soit v le nombre des facteurs premiers impairs de A et }. le nombre de ses caractères.

Si A est impair on si A ^ 4 (mod 8) nous appellerons degré de A la quantité v H- X. Si A ^ o (mod 8) nous appellerons degré de A la quantité v -h X 4- i.

On voit facilement qu'il n'y a pas de déterminants du premier degré, mais il y en a du second degré. Cela arrive quand v = X = i .

Alors le tableau (i/i) se réduit à sa première ligne, toutes les formes primitives de déterminant A sont carrés parfaits elle théorème est vérifié.

Nous allons donc démontrer que si le théorème est vrai pour tous les déterminants d'un degré inférieur à celui d'un déterminant A il est encore vrai pour celui-là.

1^' Cas. A impair. Soit (a, t, c) une forme du genre principaU le coefficient a satisfaisant aux conditions données plus haut.

Considérons la congruence

z* ^ a (mod A).

Elle est soluble puisque A est impair et que pour tout facteur premier de Aon a (-1 = i, (a, b, c) appartenant au genre principal.

On en conclut l'existence d'une forme (A, n, r) de déterminant égal à 4a-

Cette forme est primitive. En effet son déterminant ^a n'a d'autre facteur carré que 4- Donc A, a, n ne pourraient avoir d'autre diviseur commun que 2. Mais A est impair.

Elle est du genre principal. En effet puisque 6* — kac = A, le caractère quadratique de A par rapport à n'importe quel facteur

premier impair de ka est h- i. De plus -j étant impair le seul

caractère relatif au facteur 2 qui puisse exister est ( — i ) " qui est aussi égal à i puisque A ^ i (mod 4).

Le degré de 4a est moindre que celui de A. Car pour A on a X= V et le degré est 2X. Mais 4a a au plus X — i facteurs premiers

impairs, et le nombre de ses caractères est au plus X (car -j est

impair). Donc son degré est au plus 2X — i . Le théorème à démontrer est donc vrai pour la forme (A, n, r)~*, donc cette forme est carré parfait. Son inverse l'est aussi. Alors (A, n, /') est de même xîlasse qu'une forme (a, jS, 7)* où l'on peut supposer a premier à A et à a.

Alors (A, /i, r) (a, ]S, 7)* est de la classe principale, c'est-à-dire ■que (A, n, r) (a, |3, 7)* est de même classe que (1,0, — a).

Or (A, /i, r) représente primitivement A, et (a, ^^S, 7)'' représente primitivement a'. De plus A et «' sont premiers entre eux. Donc (i, o, — a) représente primitivement Aa^. Ainsi

Aa» = $* — OT)* avec D($,'ifj) =z i

De D(^, >3) = I il résulte que D(A, yj) = i. On a :

«7l« == $« — Aa« = (5 — a)» 4- (S — et) . aa 4- ^-=-^ (a«)».

Donc a>j* est rcprésen table par la forme principale de déterminant A.

Alors appliquant le théorème VII (n" 266) on voit que toute classe susceptible de représenter a est carré parfait, et le théorème «st démontré.

2® Cas. A = 4 (mod 8).

Mêmes notations. La congruence

s' ^ a ( mod -. \

«st soluble. On en conclut l'existence d'une forme ( -?, /i, r) de

déterminant 4a. Elle est primitive car -7 est impair. Elle appartient

«u genre principal. En effet si-7^^ i (mod 4) on le voit comme

plus haut. Si -^ ^ — i (mod 4) alors dans les classes de détermi-

nant A il y a le caractère ( — i) ^ ; donc puisque (a, 6, c) appartient au genre principal c'est que a = i (mod 4) ; alors dans les