TOUTE CLASSE DU GENRE PRINCIPAL EST CARRE PARFAIT

formes de déterminant 4^ il n'y a pas de caractère relatif au facteur 2.

Le degré de 4a est moindre que celui de A. Pour le démontrer

nous distinguerons encore suivant que t ^ + ou — i (mod 4)»

^ Si -T ^ I (mod 4) on a X = y et le degré de A est 2)., tandis que

a a au plus X — i facteurs premiers impairs et au plus X caractère» de sorte que son degré est au plus 2X — i .

Si -7 ^ — I (mod 4), alors X = y + i et le degré de A est

2X — I , mais 4a possède au plus X — i facteurs premiers impairs et de plus a ^ i (mod 4) (voir plus haut) donc 4a a X — i caractères et son degré est 2X — 2.

On a alors, comme dans le premier cas

3* Cas. T simplement pair et a ^ i (mod 8). La congruence

2' ^ a ( mod -. )

est soluble. Relativement au facteurs premiers impairs de A on le voit comme dans le premier cas ; relativement au facteur 2 cela tient à

ce que -j est simplement pair. On en conclut l'existence d'une forme

l-7,n,rjde déterminant 4a. Elle est primilive. En efiFet, ici -r

et n sont pairs, mais r est impair ; on peut même ajouter qu'il ^ I (mod 4). En efiFet :

a étant impair et ■? pair, cette égalité montre d'abord que - est

impair, et elle donne

j ^^ I — « (mod 8).

Si - ^ 2 (mod 8), la quantité ( — i)~"8~ est un caractère, dona

a^±: 1 (mod 8).

Or a n'est pas ^i (mod 8) par hypothèse. Donc a ^ — i(raod8). Alors la congruence précédente donne

ar ^ 2 (mod 8) d'où

r ^ I (mod 4).

Si -7 ^— 2 (mod 8), la quantité ( — i) ~T "^ 8~ est un caractère.

Donc a ^ I ou 3 (mod 8), et par suite a ^ 3 (mod 8) ; alors

— ar ^ — a (mod 8)

r^ 1 (mod 4).

La forme l -,, n, r) est du genre principal.

En effet puisque (-) — ac = t , le caractère quadratique de -r

par rapport à n'importe quel facteur premier impair de a est i . Relativement au facteur 2, on vient de voir que r ^ i- (mod 4).

Donc (-^, n, r) est du genre principal.

Elajin le degré de 4<2 est moindre que celai de A. Car ici conmie

7- n'est pas cong^ à zéro (mod 8) on a X = v -+- i , et le degré de A

est 2)1. Quant à 4a il au plus X — i factears premiers impairs et au plus X caractères ; son degré est au plus 2I — i. On achève comme dans le second cas.

4* Cas -, simplement pair et a^ i (mod 8).

On considère la congruence

z^ ^ a (mod A).

Elle est soluble.| Il en résulte l'existence d'une forme l-,, n, rj de déterminant a. Elle est primitive car n est impair.

Elle est du genre principal (ici le facteur 2, n'entre pas en ligne de compte).

Le degré de a est moindre que celui de A, car ici le degré de A est 2X — I et celui de a au plus 2X — 2