CONSÉQUENCES DD THÉORÈME FONDAMENTAL
On en tire
•d'où
^2 ta . ï , ï — "s
atl^ == (2^ + r)^ ^ (aa)S etc.
5« Cajf. -7^0 (mod 8). Il en résulte a ^ i (mod 8) et la démonstration est la même que dans le 4^ cas.
6' Cas. 7^4 (mod. 8). Il en résulte a ^ i ou 5 (mod 8). Si a ^ I , on considère
2* ^ a (mod A)
soluble puisque a ^ i (mod 8^ ; puis la forme ( t . «> r), primitive car n est impair, du genre principal (il n'y a pas de caractère relatif à a).
Le degré de A est 2X — i et celui de a est au plus aX — 2.
Si a ^ 5 (mod 8), on considère la congruence
2^ = a ( mod j \
et la forme (-^, ai, a\ puis on continue comme dans le cas précédent.
300. Conséquences du théorème fondamental. — Revenons aux relations (5).
Nous venons de démontrer que p = q. Donc ces relations deviennent.
Alors l'énoncé du théorème du n° 293 est modifié de la façon suivante : Le nombre des genres correspondant à un déterminant donné est égal à celui des classes bilatères, c'est-à-dire a 2^—'. Il en résulte le théorème annoncé au n'' 215. Etant donnés des caractères satisfaisant à la relation fondamentale du chapitre XVIII, il y a un genre correspondant à ces caractères.
On a vu aussi (Remarque du n" 293) que dans chaque genre il y a le même nombre de classes. Nous voyons maintenant que ce
nombre est -jzTi ('i = ordre du groupe des classes).
301. Etude du groupe des genres. — L'ordre du groupe des^ genres est 2^— ^ L'élément unité est le genre principal. Sauf celuilà tous les autres éléments sont d'ordre 2.
Cherchons une base réduite du groupe. Remarquons tout de de suite qu'une base réduite est nécessairement fondamentale puisque tous ses éléments ont un ordre égal à 2.
Supposons qu'on ait une base réduite parfaite du groupe de» classes, et d'après les résultats du n° 298 écrivons-là :
les r — X H- I premiers éléments ayant un exposant impair, les X — I suivants un exposant pair. Nous remarquerons d'abord que : Toute classe d'exposant impair appartient au genre principal. Eu effet, soit :
Il en résulte : •
Donc C est carré parfait et par suite appartient au genre principal. Ceci posé appelons Gj le genre de Ci. Il est évident que Gj, Gj, ... Gr forment une base du groupe des genres. Mais. Gi, Ga, ... G^)4., sont identiques au genre principal.
Donc on peut les supprimer. Il reste
Gr—X-fa,^ G,.?k4.3i ••• Gr
qui forment une base, chacun des éléments étant d'exposant i ou a.
Je dis que cette base est réduite. En effet, si cela n'était pas^ comme cette base contient X — i éléments qui sont chacun d'exposant I ou 2, le groupe des genres aurait moins de 2^—' éléments^ ce qui n'est pas.
Comme conséquence tous les éléments de cette base sont d'ordre a .
DES FORMES A COEFFICIE.NTS ENTIKRS, ETC. 569-
302. Des formes à coefficients entiers qui se déduisent l'une de l'autre par une substitution fractionnaire de déterminant égal à + ou — i . — Appliquons à une forme (a, 6, c) uiie substitution fractionnaire de déterminant égal à •+• ou — i . Ecrivons cette substitution en supposant ses coefficients réduits à leur plus petit*dénominateur commun.
Soit
avec a(^ — jSy = ± ô*.
Les deux formes (a, b, c) et (A, B, C) ont même déterminant. Il peut arriver qu'elles aient toutes deux leurs coefficients entiers.
Par exemple
(««a, o, Pc)
Dans ce qui va suivre nous supposerons toujours que a, b, c et A, B, G sont entiers.
Mais il peut arriver que l'une des formes soit primitive et que l'autre ne le soit pas. Exemple :
Si a ^ I est premier à ^'c la première forme est primitive et la seconde ne l'est pas.
A ce sujet on a le théorème suivant :
Théorème. — Si d est premier au déterminant A, les demc Jormes (a b, c) et (A, B, C) ont le même diviseur.
En effet
Aô' = aa» -H 6ctY ■+- CY*. BO» = aaa^ + 6(a8 + Py) -+- ^cy^, C9« = a^« -h 6^8 4- cS«.
Tout commun diviseur de a, b, c divise A, donc il est premier à $. Mais il divise Ad^, B5', Cô* ; donc il divise A, B, C. On démontre de même que tout commun diviseur à A, B, C divise a, b, c; donc les deux formes ont même diviseur. En particulier, si d est premier a,u déterminant A, et si tune des deux formes est primitive l'autre l'est aussi.
Théori;me. — Si deux formes primitives (a, 6, c) et (A, B, C) se déduisent l'une de l'autre par une substitution de déterminant égal à ±1 et de dénominateur premier à A, ces deux formes appartiennent au même genre.
En efFet soit p un facteur premier impair de A. On peut supposer A non divisible par p. En effet on peut trouver une forme (A', B', G') de même classe que (A, B, G) telle que A' ne soit pas divisible par p. Soit
On a alors
«t au lieu de démontrer que (a, 6, c) et (A, B, G) sont de même genre, il suffit de démontrer que (a, 6, c) et (A', B', G') le sont. Ainsi je suppose A ^ o (mod/)). Alors le caractère de (A, B, G)
par rapport à /) est ( — j. Gomme Q n'est pas divisible par p on a
/A\ /A0^\ /ga^ H- fegy 4- cy^
\pj~\pj~\ P y
Soit d le plus grand commun diviseur de a et y. Alors /A\ ^ nac^y" -[- fcûtiYi +CYi')c/n /qg," -4- Kyi H- cyi'X
«, et 7j étant premiers entre eux. Alors aouî^ + tar/i -t-cyj* est un entier représenté primitivement par (a, 6, c).
Donc ^— î— ^li li- j est le caractère de (a, b, c) par rap-
jport à p. Donc ce caractère est le même poîir les deux formes.
DES FORMES A COEFFlCIETfTS EPTriERS, ETC. Bjl
La dénionstration est la même pour les caractères relatifs au facteur 2 s'ils existent, en remarquant que dans ce cas d et d sont impairs et que l'on & 9* = d^ ^ i (mod 8).
Réciproquement. Deux formes primitives de même déterminant A et appartenant au même genre sont transformables Fane dans l'autre par une substitution rationnelle de dénominateur premier à A.
Il suffit de le démontrer pour deux formes qui soient respectivement de mêmes classes que les deux formes considérées. Soit C la classe de la première forme, C celle de la seconde. Puisque
C et C sont de même genre 7^ est carré parfait. Soit
