C = CT
r^ peut se représenter par une forme dont le premier coefficient est carré parfait (a*, 6, a'c) et C par une forme immédiatement composable avec celle-là (a', 6, a^c). Alors G est représentable par (a^a', 6, c). Ceci posé on passe de {a*a', b, c) à (a!, b, a'^c] par la
substitution / - o \ ce qui démontre le théorème.
303. Une dernière question se pose : calculer l'ordre du groupe des classes, c'est-à-dire le nombre des classes primitives de déterminant donné. Ce problème sera résolu plus tard. Pour le moment nous allons nous borner à montrer qu'il suffît de le résoudre pour les déterminants n'ayant pas de facteur carré. C'est-à-dire, en appelant /i(A) le nombre des classes primitives correspondant à un déterminant A, nous allons établir une relation entre n{A) et n(m*A). Pour cela il suffît évidemment d'établir une relation entre n(A) et n{p^A), p étant un nombre premier.
Pour cela nous allons montrer comment connaissant les classes primitives de déterminant A on peut Jormer celles de déterminant p'A.
En appliquant à une forjne de déterminant A une substitution linéaire de déterminant p, on obtient une forme de déterminant p^A. Nous allons démontrer la réciproque.
Toute forme primitive de déterminant />*A peut s'obtenir en appli-
quant à une Jorme primitive de déterminant A une substitution dedéterminant p.
Soit (A, B, C) = F primitive et de déterminant p'A. Nous voulons déterminer (a, b, c) =/de déterminant A et (^ g ) = ^ *®^*
que F=/2.
i" On peut supposer A ^ o mod/>), car on peut en tout ca& trouver (A', B', C) telle que
(A', B', G') = (A, B, C)S (S = une substitution moléculaire) et telle que A' ^ 0 (mod p). Si ensuite on a (A', B', C')=/s
on a
a* Ayant
F=ys
on a
F = (ys-')(Si)
s étant une substitution modulaire quelconque. Or on peut choisir S de façon que S2 ait la forme réduite seconde manière (I. 376). On peut donc se borner à chercher les substitutions 2 dans lesquelles
3° Ceci posé écrivons que
c'est-à-dire
[ aoL^ =-A
(i5) I -xaa^ + 6a8 = B
avec les conditions
La condition 6' — ^ac = A peut être négligée car c'est une conséquence des précédentes.
NOMBRE DES CLASSES DE DÉTERMINAM m* A b^jZ
De même la condition que (a, 6, c) soit primitive résulte de ce <ïue (A, B, G) l'est.
Les conditions (i6) nous donnent soit
a = p 8 = 1 ■soit
La première de ces deux solutions est inacceptable, car la première des équations (i5) donnerait ap^ = A. Or A n'est pas divisible par p.
Prenons donc a=i, â'=p. L'équation (17) donne alors
•et les équations (i5) donnent
aap -+- 6p = B a^« -h bpp -+- cp^ = G.
Ainsi a = A et il reste à déterminer 6, c, |3 par
(18) iAp-hbp = B <i9) A^> -+- bp^ + c/3» = G.
11 faut distinguer deux cas i" Cas. /> ?^ 2.
L'équation (i8) donne (ao) aAp = B(modp).
Cette congruence en |S est possible puisque A ^ o (modp), et jointe à (17) elle détermine complètement p. On a alors
