B — 2AP
La valeur trouvée pour b est entière à cause de (20), nous allons montrer que la valeur trouvée pour c l'est aussi, c'est-à-dire que
A^» B^ -+- G = o (mod p^)
574 XUÉORIE DES NOMBRES
c'est-à-dire, en multipliant par 4A qui est ^ o (mod p)
(2A^ — B)^ — Ap2 = o (mod p')
ce qui résulte de (20).
2* Cas. p = 2. Dans ce cas B est pair. L'équation (17) donne
p = o ou p = 1 .
prenons d'abord ^3 = o. Alors
La première valeur est entière, donc acceptable. La seconde est entière aussi si C est pair.
Car si C était simplement pair, comme de plus A est impair, la
/B\2 quantité ( - ) — AG serait ^ 2 ou 3 (mod 4) et ne serait pas un
déterminant.
Ainsi 16 = 0 convient si C est pair et ne convient pas si C est impair.
Prenons maintenant ^=1. Alors
, B — aA A — B-hC
La première valeur est entière. La seconde l'est aussi si C est impair. Car elle est égale à
r-fr-[(^y--c]
/iA
Si - est impair les deux entiers (A j ®M~) — ^^ ^^^^
pairs tous deux et tous les deux divisibles par 4 ; le premier parce que c'est un carré, le second parce que c'est un déterminant.
Si - est pair, ces deux entiers sont ^ i (mod 4) pour les mêmes
raisons. Dans les deux cas leur difierence est divisible par 4.
Ainsi jS = I convient si C est impair, mais il ne convient pas si C est pair. Le théorème est démontré dans tous les cas.
Il résulte de ce théorème que si nous appliquons à toutes les Jormes primitives de déterminant A toutes les substitutions de déter-
NOMBRE DES CLASSES DE DETERMINANT lU^ A b'j5'
minant /), nous obtiendrons toutes les formes primitives (*) de déterminant p^A.
304. — Mais si on considère deux formes de déterminant A qui soient de même, classe. / et /S (S = substitution modulaire) si l'on applique à la première une substitution 1 de déterminant p et et la seconde la substitution S"'2 également de déterminant /) on obtient le même résultat. Donc il suffit de choisir arbitrairement dans chaque classe primitive de déterminant A unejorme et d'appliquer à toutes les formes obtenues toutes les substitutions de déterminant p pour avoir des formes de déterminant p^A appartenant à toutes les classes primitives de ce déterminant.
Mais, de plus, si on applique à une forme/ une substitution 1 de déterminant p, ou la substitution 21S (S substitution modulaire quelconque) les deux formes obtenues sont de même classe. Or on peut choisir S de façon que 2S soit réduite première manière (I 374). Les substitutions réduites première manière sont : 1° la
substitution ( " j ; 2° les substitutions
Donc : il suffit de choisir arbitrairement dans chaque classe pri' mitive de déterminant A une forme et d'appliquer à toutes les formes obtenues toutes les substitutions
pour avoir des formes de déterminant Ap^ appartenant à toutes les classes primitives de ce déterminant.
Le nombre des classes de déterminant A étant n(A) et le nombre des substitutions appliquées étant p -4- i , on obtient ainsi (p -+- 1 )n(A) classes de déterminant p^ A. Mais les classes ainsi obtenues ne sont pas toutes primitives comme nous allons le voir et il faut éliminer celles qui ne le sont pas.
On peut supposer que la forme primitive {a,b,c) choisie dans une classe de déterminant A soit telle que c ne soit divisible par p.
(*} Et d'autres non primitives comme on le verra plus loin.
Alors la forme
(a.b.c)(P^f)={ap\bp,c)
^st primitive.
Reste à examiner les p formes
(21) (a. 6, c) Q °) = [a -+- 6y H- cf. (6 4- 2C^)p, cp'].
Or, a, b, c étant premiers dans leur ensemble il en est de même de a -H 67 -f- cp^, b ■+- 2cy et c. Donc la forme (21) sera primitive ou non suivant que a-\- b^ -\- cy^ ne sera pas ou sera divisible par p.
Or, la congruence
cy' + 6y •+■ ° ^ 0 (mod p) -admet un nombre de solutions (mod p) égal à i + ( - j (n*' 37).
Donc chaque classe primitive de déterminant A donne naissance à
{'-^it)] 0» .'-(I)
classes primitives de déterminant p^A. Donc on trouve ainsi P — ( ~ ) U(^) classes primitives de déterminant p^A et toutes les
-classes primitives de déterminant p' A sont ainsi obtenues. La -question n'est cependant pas encore achevée parce qu'il reste à savoir combien de fois chacune de ces classes est obtenue
305. — Deux des formes de déterminant p" A obtenues ainsi Jie peuvent être de même classe que si elles proviennent d'une même forme de déterminant A. En effet, cela résulte du calcul fait au n° 303. Etant donnée la classe de (A, B, C), celle de (a, b, c) est déterminée. Car de (A, B, C) on déduit (A'B'C) qui est de même classe ; puis de (A'B'C) on déduit sans ambiguité les coefiicients (a, 6, c) de la forme /S~' qui est de même classe que/.
Reste enfin à voir si deux formes /2 et/Zj (2, 2i, substitutions jéduites première manière, de déterminant p) peuvent être de même classe, 2 et 1^ étant deux substitutions de déterminant p. Pour cela il faut et il suffit que
NOMBRE DES CLASSES DE DETERMINANT m* A 677
S étant modulaire, ou
Donc la condition est que 2S(2,) * soit une siAstitution aulomorphe de/.
SS(2,)-i = A
ou
s = S-' ASj.
La condition pour que /2 et /Z, soient de même classe peut donc s'énoncer : il existe une substitution automorphe A de f telle que Ir^Ali soit modulaire.
Mais la substitution ^~*Ij a un déterminant égal à i. Pour écrire qu'elle est modulaire il suffît d'écrire que ses coefficients sont entiers.
On est amené à considérer différents cas suivant les différentes valeurs de A.
i^'Cas.A<o, A;zf — /iet — 3.
Alors A = f i)°"( o i)*^^ seconde valeur de A donne
les mêmes résultats que la première on peut la négliger.
Soit d'abord 2 ^ (^ j. On a la solution évidente 2, = 2. II
faut voir s'il y a des solutions 1, de la forme ( ), On trouve
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