As, =/- o jdont les coefficients ne sont pas entiers

Donc pas de solution de la forme 2i = ( j.

Soit ensuite 2= ( j, il faut essayer 2, = (^ jet2, = (''^)

(7i * 7 (niod p)).

On trouve I i 1 qui n'a pas ses coefficients entiers et

I Yi — ï 1 ^"^ °® ^®^ ^ P*^ ^^^ P^"^- \ P /

La conclusion est que, dans ce cas, chacune des classes primi-

Cahbsi. — Théorie des noiabi««, t. II. 37

578 THÉOBIE DES NOJIBHES

tives obtenues de déterminant pA n'est obtenue qu'une fois et que l'on a

2« Cas. A = — 4.

Alors A = (-) ou (°„^) ou (-■») ou (»-;). Les deux dernières valeurs de A. donnent le même résultat que les deux premières, on peut les négliger.

Si l'on prend A =( q r ) Q'^ trouve comme précédemment 2, =2.

Mais si l'on prend A = ( j pour chaque valeur de Z on

trouva deux valeurs de 2^ à savoir, d'abord 2^ = 2, et. ensuite,, si 2 = (^ °) on trouve I, = (^ ^) et si 2 = (^' °) on trouve 2, =

(01) P^^*^ 7 = oet2|=( ,°j avec yy' ^ — i (mod p) si y ;zl o.

Dans ce dernier cas 2, ne peut être identique à 2 c'est-à-dire y' égal à y, car il faudrait que y^ -f- 1^0 (mod p) ; or, les valeurs de y satisfaisait à cette condition ont été exclues comme ne donnant pas de formes primitives.

La conclusion est que, dans le cas, de A = — 4 chacune des classes primitives de déterminant p^A est obtenne deux fois et l'on a

c'est-à-dire :

ni-Ap') = l[p-{-i{ ' ]

3' Cas. A = — 3.

Alors A = ( ^ ° ) ou r ^ 1 ou ( ^ * ) ou trois autres

substitutions qui ne diffèrent de celles-là que par les signes des coefficients et qui donnent les mêmes résultats.

Si on prend A = (^ j ) on trouvera 2i = 1.

Si on prend A = ( ^ î ) pour chaque valeur de 2 on trouve

deux valeurs de \ à savoir d'abord \ = 2, et ensuite, si 2 = ( J ^ )

NOMBRE DES CLASSES DE DETERMINANT m^ A 679

■on trouve 1^ =M°jetsii; = (^pjoii trouve ^j = (^ ° j pour

7 = — I et II f ^ ° j ave7i(7 + i) -4- i ^o (mod/))si 7 ;zf — i.

Dans aucun cas on n'a li = 2, on le voit comme plus haut.

Si on prend A. = ( J o)*^'^ trouve encore deux valeurs de 2, à savoir 2, = 2 et si -

^ = (o ?) °^ *^°^^« ^. == (p - , p) et si

.2 = Q°)ontrouve2, = (^°)si7 = oet

2i= ( ' °) avec 771 + 7 + 1^0 (mod p) si 7 ;2f 0.

On n'a non plus dans ce cas, jamais 2, = 1. Ainsi dans le A = — 3, chacune des classe primitives de déterminant p^ A est obtenue trois fois et l'on a

é'est-à-dire

4* Cas. — Soit enfin, A > o. Soit d'abord -S = (^ j]. Il y a d'abord la solution évidente 2, = 2. Ensuite il faut voir s'il y en a de la forme 2, = (^ °).

Ici (n« 173).

t, u, étant une solution de l'équation de Fermât. Un calcul facile donne ici