L-*As

et par conséquent il faut écrire que

(ai) i ; — - u — cyj u ^ 0 (mod/)).

Par hypothèse c ^ o (modp). Si de plus m ^ o (mod p), la condition (21) donne une valeur et une seule pour -yi, à savoir :

(22) Yi = c [^ T^] ("™o^ P) (o < ïi < P)-

Au contraire si u ^ o (mod /)), on a / ^ o (mod/)) à cause de

/* 4- ptu — — T-^ u' =^ I ; alors la congruence (21) est impossible.

Reste donc à voir combien de valeurs différentes (mod p) prend l'expression (22) lorsqu'on remplace /, u par les différentes solutions de l'équation de Fermât.

D'abord les solutions i, u et — t, — u donnent la même valeur pour 7j. Il suffit donc de considérer les solutions t, u déduites de la formule (28) du chapitre X.

f„ — oiu„ = (<j — Wj Oj)" (n entier § o).

Voyons à quelles conditions deux solutions h, U/, et t^^^a u^^a donnent la même valeur (mod p) pour y^ . Il faut pour cela et^il suffit que :

^ = ^ (mod p).

Or

Uft+ff = {tk -+- pu/,)uff H- Uht7.

La condition devient, après simplification,

«»(<A^ ■+■ PYa«a — /^wa") = o (mod p) ou

«(T ^ o (mod p).

Donc on aura toutes les valeurs de 7^ en donnant k t, u les valeurs

'ij v,^; t^, Mj ; ... tc i, «ff—j. ]

Il y a donc (7 — i substitutions 2, satisfaisant à la question.

NOMBRE DES CLASSES DE DETERMINANT m' A 58 1

En y adjoignant la substitution 1 elle-même cela en fait a: Soit maintenant 1 = 1^').

Si 2t = (^ °) on trouve, par un calcul analogue, la condition

(aS) (ycu -+- t H ^^ « ^ 0 (mod p)

et ai 2, = ( ), on trouve la condition : \Yi PJ

(a4) Y, l — ^cu-ht-h ^-^ u\ —^ (t — ^-^\ -ï-aa= o {mod p).

Si — ycu -+- 1 H u ^ o (modp), la condition (28) n'est

pas satisfaite et la substitution K ° J ne répond pas à la question, mais la condition (24) donne une valeur de y,

«t par conséquent une substitution 2,.

Si — ycu H- t H ^ G (mod p) alors ( ^ j satisfait à la

question, mais la condition (2^) est impossible car on n'a pas

— 7 N — ^ uj -H au ^ G (mod p). En effet si cela était, de

l'ensemble des deux congruences.

(h— j(™odp)

(ï —^ -f a j a — Yi = o ^

on déduirait [/, u n'étant pas tous les deux ^ o (mod p)]

— Y (- YC + — ^)' — (y -=-^^ -t- a) = o

OU

a 4- 6y -+- ^' ^ o (mod p).

Or^ les valeurs de y satisfaisant à cette condition ont été exclues comme ne donnant pas de classes primitives.

Ainsi pour toute solution /, u on trouve une valeur de 1, répondant à la question. On verrait comme plus haut que deux solutions ih, Uh dont les indices diffèrent de c donnent la même substitution 2, , et que cela n'a pas lieu pour deux solutions dont les indices diffèrent de moins de a.

Finalement chacune des classes primitives de déterminant p*A est obtenue a fois et l'on a

En résumé on a la formule générale (a5) ,(^.^)l[-p^^^]„(^)

dans laquelle

ff = I lorsque A<o, ;2f — 3,;zf — 4

ff = 2 » A = — 4

ff = 3 » A = — 3

a = le plus entier positif tel que Uq ^ (mod p) lorsque A >■ o.

Remarque. — Ceci prouve que l'entier a existe, n'est pas infini.

Car on sait que n(p'A) est différent de o. Donc étant donné un nombre premier p quelconque, [il existe toujours des solutions de l'équation de Fermai dans lesquelles la valeur de u est divisible par p. On étendra facilement ce théorème au cas oii p serait un entier non premier.

!•' Exemple. A = — 3, p = 3. La formule donne

ce qui est conforme à la table annexée à la fin de ce chapitre.

ti" Exemple. à=z 21, p == 5.

Ici l'équation de Fermât est (^ -h ta — 5u^ = i. La solution fondamentale est <i = a, «1 = I et l'on calcule facilement i^ = 9, U2 = 5.-

Donc <i = a. D'ailleurs /^ ^ | = i. Donc

'il525) = -Ai(2i)(5— 1)

OU

La table donne n(2i) = 2, donc 7i(525) = 4-

On trouve bien en effet quatre classes primitives de déterminant 625, à savoir celles représentées par les formes

3" Exemple. A = 2 1 , /) = 3 .

L'équation de Fermât est la même que dans l'exemple précédent. On a vu que t^ = 2 , u^ = 1 ; t^ = q, u.^ = b et Ton calcule facilement ts = 43, «3 = 24. Donc d == 3. D'ailleurs ( -^ j = o. Donc

ce qui est conforme à la table.

4* Exemple. — A = 5, p = 2.

Equation de Fermât t^ -\- lu — u^ = 1, t^= i, n, = i ; ^3= 2,

Ua ::=: 3 ; <3 = 5, «3 = 8. Donc <T = 3. D'ailleurs ( - ) = — J.

;n(2D) = 2 /i(5)(2 -H 1) = n(5) ; ce qu'on vérifie sur la table.

L — Dans le groupe des classes, le nombre des classes fondamentales qui n'appartiennent pas au genre principal est X — i .

n. — L'équation t^ — p2m-i-2y2 __ — j où p est premier impair ^ 1 (mod 4) est possible (Legendre, T. d. N., 3' éd. = 4® éd., t. r, p. 64 pour m = o).

En effet considérons les classes de déterminant ^p^"'+^. On a X = 1, donc une classe bilatère. Donc la classe principale et cette classe changée de signe sont identiques. Le théorème annoncé en résulte immédiatement.

Corollaire. — Dans le développement en fraction continuelle de />"• \/p il y a un nombre impair d'éléments à la période.

Remarque. — Si/)^ — i (mod 4) l'équation est impossible (n° 128).