III. — L'équation l^ -h tu — *- ^ u^ = — i ou /) est premier
= 1 (mod 4) est possible. Même démonstration en considérant les classes de déterminant p''"+*. Corollaire sur le développement de — 1 -h p^Vp
IV. — L'équation t^ — 3p*'*"^*u' = — i où p est premier ^ 5 (mod 8) est possible.
Dém. analogue.
V. — L'équation t^ — p'»'+'u* = a où p est premier ^ 7 (mod 8) est possible (Leg., toc. ci^, p. 65 pour m = o). On considère A = 4P*'""'"*' On a X = 2.
La classe principale et la classe principale changée de signe ne sont pas identiques parce que i* — y>*"'+*u' = — 1 est impossible (transformer en cong. (mod 4)), donc ce sont les deux classes bilatères. Or
2 est représentable par I 2, 2, — ' \ qui est bilatère. Donc
l'une des équations t^ — p'^'"^"^^* = a, — t* -h p^"'+^u* = a est possible. Or la seconde ne l'est pas (transformer en cong mod 8), donc la première l'est.
VI. — L'équation <* — p^"*+^u^ = — 2 où p est premier ^ 3 (mod 8) est possible (Leg., lac. cit., p. 66 pour m = o). Démonstration analogue.
VII. — L'équation t* — p2m+ig2rt+iy2 __ — j où p et 9 sont premiers ^ 1 (mod 4) et où ( ^ j = — 1 est possible. On prend
A = 4p2»«-t-i绫+».
On a X = 2. Or (i, o, — p^^'+YV) et (p^'^+ï, o, — 9»"+») sont bilatères et ne sont pas de même classe, car p^^'+^x^ — q^n+^y^ = 1 est impossible (transformer en congruence mod q). Maintenant (— 1,0, pïm+i^în+ij est aussi bilatère et n'est pas de même classe que (p2"'+i, o, — 9"»+») car — a;2 + p2m+ig2n4y ^2»+! gg^ impossible (transformer en cong modp). Donc ( — 1, o, p^m+iq^n^t^ gjt de même classe que (i, o, — p*'»+*g»«^»), etc.
VIII. — L'équation p^'w+ifa — q^n+i^i s= i où p et q sont premiers
^ 3 (mod 4) et où ( M = i est possible, mais l'équation
pim+iti qin+1^2 __ — I
est impossible (Leg., loc. cit., p. 67 pour m = n = o). Démonstration analogue.
IX. — L'équation 2t^ — p^m+ijja __ j q^ p ggj premier ^ — i (mod 8) est possible.
L'équation 2t^ — p^"*+^u^ = — i où /) est premier ^ 3 (mod 8) «si possible.
L'équation t^ — ap*"'+^u^ = — i où p est premier ^ — 3 (mod 8) «st possible.
X. — Sur le nombre de classes primitives appartenant à un déterminant /c*A (').
Par l'application répétée de la formule (26) on trouve
•a' est le a relatif à Ap', <j" le u relatif à Ap*, etc. Si A <; o on a ff = <i" = ... = I. Donc
n(p""A) = i[p-(^)]p'«-MA).
Donc «(p^^A) augmente indéûnimenl avec m.
Il n'en est pas de même si A > o. Cherchons a('). C'est le rang de
la première solution de i* -+- p/« — " — - — ^ u* = 1 pour laquelle
u^. est divisible par p. Cette équation s'écrit :
Il faut donc résoudre (a6) T« 4- pTU — ^-^ U« = 1
né garder que les solutions où U est divisible par p* et chercher dans celles-ci le rang de la première qui est divisible par p^+^, de sorte qu'en appelant a(p') le rang de la première solution de (26) qui est divisible par p^ [de façon que <j(p) = a], on a
Il en résulte
"(p'-A) = ^Ip - {i)y-'4A).
(*) Lbj. Dirichlbt, Bericht. âb. Verhandlang d. Kônig preuss. Akad. d. Wiss.f î855 (p. AgS) = Werke, t. 2, p. i85, traduit dans J. d. M., série a, t. i (i856), p. 76 = Werke, 2, p. 191.
586 THÉORIE DES NOBIBRES
Pour avoir cj(p'") remplaçons dans (26) U par pU de façon à obtenir les solutions divisibles par p. Nous obtenons
T^ -f- ppTU' - ^-^ p*U'» = I
ou, en posant
La solution générale de celte équation est donnée par
d'où l'on conclut d'abord que les rangs des solutions de (26) pour lesquelles U est un multiple de p sont lés multiples de a. Ensuite
u'=au;[(t,'-h«u,')''"
+(t=if^)(T;+a,u,f'(P)'AU,"-^...]
On démontre que la quantité entre crochets n'esl pas divisible par p. L'exposant de p dans U' est donc égal à celui qu'il a dans U,' plus celui qu'il a dans h. Donc (t(p"') = /w, h étant le plus petit entier tel que hVi soit divisible par p'"~^. En appelant p* la plus haute puissance dep qui divise U/ on voit que, aussitôt que m dépasse /c -h i cette valeur de h est p"'-^~*. Donc
«(P^'"A) = i[p-(^)]pMA)
c'est-à-dire que, à partir de cette valeur de m la valeur de nfp^^A) ne dépend plus de m.
Plus généralement on verra que n(a'A) ne dépend que des facteurs premiers de a mais non de leurs exposants aussitôl que ces exposants dépassent certaines limites.
Les recherches précédentes font partie de l'étude de n(A) comme fonction de A, étude abordée pour la première fois par Gauss (Disq. arithm., n" 3oi et suiv.) et qui est encore bien incomplète. En particulier comment se comporte n(A) quand | A | croît indéfiniment ?
On voit tout de suite que si le nombre de facteurs premiers différents de A croît indéfiniment, n(A) croît aussi indéfiniment.
En effet n(A) est plus grand que 2 , nombre des genres ; or dans le cas qui nous occuppe en ce moment X croît indéfiniment.
NOTES ET EXERCICES 5Sj
Mais si le nombre de facteurs différents de A reste fini la question n'est pas résolue en général. On a vu plus haut qpue si A ]>■ o croît indéfiniment en conservant les mêmes facteurs premiers n[\) ne croît pas indéfiniment.
M. Joubert a démontré Q) que pour A <C o, n(\) augmente indéfiniment avec I A I dans les circonstances suivantes :
Considérons un nombre premier p et les déterminants A = — D
tels que f 1 = i.
L'entier p est représenlable dans une classe C de déterminant A* Soit m l'exposant de cette classe. Alors p"* est représentable dans la classe C"' c'est-à-dire dans la classe principale. On a donc
D-f-.o^, , D + pV, . 2pa \=' D ,.
2 ■ ^ , D-f-p2 - D + pY, , 2pa \
On en déduit d'où
pV ^D-f-p»
logp Or le nombre de classes est au moins égal à m. Donc
Si donc D augmente indéfiniment en restant toujours dans une progression arithmétique telle que ( ] = i on voit que le nombre
de classes augmente indéfiniment.
Pour démontrer que n(^) augmente indéfiniment quelle que soit la façon dont D augmente indéfiniment, il suffirait de montrer que pour
tout entier positif D on peut déterminer p premier tel que ( ] =: i
et que y^ — augmente indéfiniment avec D.
On peut aussi considérer la fonction -rH = ^^^=^ = nombre de
classes contenues dans chaque genre. Lejeune Dirichlet a démontré [loc. cit.) que l'on peut trouver une infinité de déterminants positifs tels qu'il n'y ait qu'une classe par genre. Pour les déterminants négatifs il semble que -y— ^ augmente indéfiniment avec | A I .
(1) Joubert, C. R. A. P., 5o (i86o}, p. 774 et 882.
Table des classes primitives définies positives jusqu'à D = 200
ii5
ia4
ia8
(3, a, ia)6
iSg
(a, 0, ai)a(3, 0, i4)2
(a, I, ia»2
io3
io4
Nota. — Dans la première colonne sont inscrites les valeurs du discriminant D, c'est-à-dire tous les entiers positifs ^ o ou — i (mod 4) de I à aoo. Cependant, pour abréger, nous n'avons pas inscrit les. valeurs du discriminant auxquelles ne correspondent qu'une classe de formes primitives, laquelle est alors forcément la classe principale. Exemple D := 3, 4, etc.
Dans la seconde colonne sont inscrites des formes appartenant à des classes formant une base fondamentale de groupe des classes. Le nombre de ces formes est donc le rang de ce groupe. On voit que jusqu'à D = 200 il ne dépasse pas 2. L'indice dont sont affectées ces formes est leur ordre. On reconstituera donc facilement toutes les classes du groupe.
Exemples. — D = 47» les classes du groupe sont, en posant (a, — i,6) = A:
D = 180. En posant (a, a, 23) = A (5, o, 9) = B les classes du groupe sont :
