CHAPITRE XXY

LE PROBLÈME DE FERMAT POUR LE DEUXIÈME, LE TROISIÈME ET LE QUATRIÈME DEGRÉ

306, — Nous désignerons par le nom de problème de Fermât le problème de la résolution de l'équation diophantienne

l'exposant n supposé donné est un entier positif ; x, y, z sont des* entiers inconnus.

Il y a des solutions évidentes dans lesquelles l'une des trois inconnues a une valeur nulle, à savoir : si n pair

et

si n impair

X =jO, y = ±z

y = o, X = zïz z,

C'est ce que nous appellerons les solutions banales. Mais y en a-l-il d'autres ? Fermât a énoncé que pour n ^ 2 il ny en a pas d'autres. C'est ce qu'on appelle ordinairement le grand théorème de Fermai (^) .

(>) Fermât a^ cru posséder la démonstration de son théorème. II nous en a laissé l'énoncé manuscrit dans la marge d'un exemplaire des Œuvres de Diophante éditées par Bachet, et voici ce qu'il ajoute : a Cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi, hanc marginis exiguitas non caperet ». Mais il est

Actuellement ce théorème a été démontré pour les valeurs de n ayant un facteur premier plus petit que loo (sauf 69 et 67). Mai» absolument rien n'indique qu'il soit vrai pour toute valeur de n. Pour cette raison nous continuerons à parler du problème et non du théorème de Fermât.

Négligeant le cas de n = i où la solution est évidente nous allons traiter ici les cas de n = 2, 3, 4-

Solutions primitives. — Nous distinguerons d'abord les solutions primitives dans lesquelles les valeurs d'à?, y, z sont première» dans leur ensemble, et les solutions non primitives dans lesquelles ces valeurs ont un plus grand commun diviseur d différent de i . Il est évident qu'on peut se borner à la recherche des solutions primitives, et c'est ce que nous ferons toujours dans la suite.

Dans les solutions primitives les valeurs de deux quelconques des inconnues sont premières entre elles. Car si les valeurs de x et y par exemple ont un facteur commun d, il est évident d'après l'équation x" H- y" = z", que la valeur de z l'a aussi.