Solution du problème de Fermât dans le cas de n
11 s'agit de trouver les solutions primitives de l'équation diophantienne :
Ce problème se nomme aussi le problème de la recherche destriangles rectangles en nombres entiers. On peut en effet, sans^ restreindre la généralité du problème se borner aux valeurs positives de X, y, z; alors d'après l'équation (i) x,y sont les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont z est l'hypoténuse. Les triangles correspondant à des solutions primitives seront dits triangles primitifs (^).
plus que probable que cette démonstration n'était pas valable puisque lui-même n'a pas jugé k propos de la faire connaître et qu'aucune démonstration n'a pu être retrouvée malgré les efforts des plus grands mathématiciens et les progrès considérables de la Théorie des Nombres depuis le temps de Fermât.
(i) Voici comment le problème s'est imposé aux mathématiciens grecs. Jusqu'à la découverte du théorème de Pythagore (vi' siècle avant J. G.) il» croyaient que toute longueur était mesurable par un nombre rationnel, autrement dit que deux longueurs quelconques ont une commune mesure. Or le
PROBLEME DE FERMAT POUR 11 = 2 SgS
Nous voyons d'abord, en transformant l'équation (i) en congruence (mod 2), que sur les trois valeurs de x, y, z, il en faut zéro ou deux qui soient impaires. Mais si aucune des trois valeurs «'était impaire la solution ne serait pas primitive, ce cas est écarté.
Il y a donc deux des valeurs d'à?, y, z qui sont impaires. Ces valeurs ne sont pas celles de x et y. En effet, si a? et y étaient impairs et z pair, en transformant l'équation en congruence ^mod 4), on trouverait 2^0 (mod /j) ce qui n'est pas.
Donc l'une des deux valeurs de a; ou de j est paire, et l'autre impaire. Nous ne restreindrons pas la généralité de la solution en supposant x pair et y impair. Quant à 2: il est impair.
Ceci posé, l'équation s'écrit
y^ = z' — x^ OU
Or z — X et z 4- X sont premiers entre eux. En effet tout facteur commun à ces deux nombres divise leur somme 22 et leur différence 2x. Comme as et 2 sont par hypothèse premiers entre eux, ce facteur commun divise 2. Mais de plus 2 — x ei z -\- x sont impairs ; donc leur facteur commun ne peut être que i .
Les entiers 2 — x et 2 + a; étant premiers entre eux et leur produit étant un carré, c'est que chacun est, au signe près, un carré. On a donc
z -\- X = tl^
z — a; = eu'
£ étant égal à-f-iouà — i, fêta étant des entiers impairs premiers entre eux.
théorème de Pythagore démontrait l'existence de triangles rectangles où Thypoiénuse est incommensurable avec les côtés de l'angle droit. Il était dès lors indiqué de rechercher les triangles rectangles dont les trois côtés fussent commensurables ; c'est-à-dire, en choisissant ^convenablement l'unité de longueur, dont les trois côtés fussent mesurés par des nombres entiers. On trouva d'abord des solutions particulières. La solution générale est dans EucUde (ive siècle avant J G.).
Ca»b!«. — Théorie des nombres, t. II. 38
On tire de là
et alors (i) donne
^ = ± ta.
On peut se borner à chercher les solutions primitives positive» de l'équation. On voit qu'elles sont données par les formules
t, «, étant deux entiers positifs^ impairs, premiers entre eux et t étant plus grand que u.
On peut écrire ces formules autrement. Posons
On voit sans peine d'après les hypothèses faites sur i, u que t', u' sont deux entiers positifs, de parités dififérentes, premiers entre eux et que t' >> u'. Réciproquement si /', a' satisfont à ces conditions, t et u satisfont aux conditions précédentes. On peut donc dire que les solutions primitives positives de l'équation sont données (en écrivant t, u à la place de t', «'), par
(3) X = ata j — i2 — u« 2 = <2 H- «2
t, u étant deux entiers positifs, de parités différentes, premiers entre eux, et t étant plus grand que u.
Quant à la solution générale (comprenant les solutions primitives ou non, positives ou non) elle est donnée par les formules
il"
d.tu
ou ]
par
les formules
dil^-
t, U satisfaisant aux mêmes conditions que plus haut, d étant un entier quelconque.
PROBLEilE DE FERMAT POUR n = 2
Voici le tableau des premières solutions positives primitives.
Aufre méthode. — Voici pour résoudre Téquatioxi (i) une autre méthode qui a l'avantage de se généraliser. L'équation (i) peut s'écrire
Posant - = X et ^ = Y on est ramené à trouver les solutions
rationnelles de l'équation
c'est-à-dire les points à coordonnées rationnelles du cercle représenté par l'équation (6).
Or on en connaît un à priori, à savoir le point X = i, Y = o.
Si on en considère un autre X, Y, le coefficient angulaire de la
droite qui joint ce point au précédent, à savoir ^ est rationnel.
On a
t, Ur étant deux entiers premiers entre eux.
De (6) et (7) on tire, d'abord la solution X ensuite la solution
t^ — u^ ,, atu
Y = o et
Si on suppose que t et u varient en restant entiers et premiers entre eux, on obtient ainsi la solution générale de l'équation (6) (y compris la solution X = i , Y = o que l'on obtient pour
t=^ i, u = o). Remplaçant X par - et Y par ^ on a
Jl —
Si l'on ne veut que les solutions primitives positives, il faudra prendre / >» u et écrire
t^ — u» 2ta t*-hj^
D étant le plus grand commun diviseur de /* — u}, itu et /* 4, u*. Mais D = I ou 2 suivant que t ti u sont de parités différentes ou de même parité. D'ailleurs s'ils sont de même parité ils sont tous les deux impairs puisqu'ils sont premiers entre eux. Donc si / et u sont l'un pair, l'autre impair on a
et si < et u sont tous les deux impairs on a
X = y = ta z = .
D'ailleurs on a vu plus haut que ces deux systèmes de solutions n'en font qu'un et finalement on retrouve les mêmes résultats que par la première méthode.
308. — La deuxième méthode indiquée au n** précédent s'applique à toutes les équations homogènes du second degré à un nombre quelconque de variables dont on connaît une solution rationnelle.
1*' Exemple. — Soit l'équation
x^ -hy^ = (a2 -f- 6*)z«.
On en connaît la solution x = a^ y = b, z = i . On posera
et l'on trouvera
— af^ -\- abia + au^ bt^ -+■ aatu — 6u*
<, u étant deux entiers premiers entre eux, D étant le plus grand commun diviseur des trois numérateurs. On voit facilement que D est un diviseur de 2(0^ + 6*) ; il restera, pour des valeurs données de a
PROBLÈME DE FERMAT POUR n = 2 697
et b, à discuter suivant les valeurs de t, u. Soit, par exemple a = i^ 6 = I , de façon que l'équation à résoudre est
^2 ^ yi —. 2Z^,
On voit facilement que l'on a
a; = <2 -f. 2<u — u2 j = ^2 ^ aiu j u2 ^ = t"^ -^ u}
si f et « sont de parités différentes, et
i2 H- ^tvL — u2 — l^ -h 2ia -h u^ t^ -h u«
si t, u sont tous les deux impairs. Mais les secondes formules rentrent dans les premières qui donnent ainsi la solution générale du problème.
Remarque. — On a ainsi les solutions de
rr" -f- j* = Az^
quand A est une somme de deux carrés. Quand A n'est pas une somme de deux carrés cette équation est impossible. En effet si elle est possible elle a des solutions primitives. Soit Xq, yot ^0 l'une d'elles. Soit d le plus grand commun diviseur de Xq, Jo> il est premier à z,. On a en posant 0*0 = dxi, jo = ''v,
d'(x,'-\-y,') = ^ZoK Or d' étant premier à Zq* divise A. Soit A = d'^A', on a
L'entier A' divisant une somme de deux carrés premiers entre eux est lui-même une somme de deux, carrés (n" 190) et il en est de même de A.
a® Exemple. — Trouver les parallélipipèdes rectangles dont les arêtes et les diagonales sont commensnrables entre elles. C'est-à-dire résoudre en nombres entiers
On connaît la solution
On pose
et l'on trouve
2UW 2VW U^ -h V^ tU^ «°
X — -pr- y — -p- z — pj t —
a, V, w étant trois entiers premiers dans leur ensemble, D étant le plus grand commun diviseur des quatre numérateurs. On démontrera que
D = 2D (u' -f- v^,w) si 10 est impair et u, v de parités différentes ; D = D(u* -f- v^, lo) dans tous les autres cas (le cas de u, v, w tous les trois pairs étant écarté puisque D (u,v,iu) = i). Une solution analogue s'applique à
La méthode s'appliquerait même à des équations d'un degré supérieur au second. Nous reviendrons sur ce problème.
309. Théorème de Fermât dans le cas de n = 4 (0* — ^^ théorème s'énonce : L'équation x* + y* = 2* n'a pas d'autres solutions que celles où l'une des deux inconnues x, y, reçoit une valeur nulle. Nous allons démontrer ce résultat pour une équation plus^générale, à savoir l'équation
Celte équation n'a pas d'autres solutions que celles où les valeurs de îc ou y sont nulles.
On peut supposer que les valeurs de x, y, z soient premières dans leur ensemble.
Supposons, en effet, qu'elles aient un facteur premier commun/). Posant :
X = px' y = py' z =■ pzf l'équation devient
Donc z' doit être divisible par p. Posant z' = pz" il vient : a;'4 | yi 2"2,
Si les valeurs de x' , y'^z" avaient encore un facteur premier
(^) Frénicle de Besst, Traité des triangles rectangles ennombres, Parii, 1676. Frénicle de Bessy tenait de Fermât le principe de sa démonstration.
THÉORÈME DE FERMAT POUR n = ^ SqQ
<;ommun on recommencerait jusqu'à ce qu'on arrive à une équation, toujours de la forme (8) dans laquelle les valeurs des inconnues n'auraient plus le facteur commun. D'ailleurs aucune de ces valeurs ne serait nulle.
En particulier les valeurs des trois inconnues ne sont pas paires ; il ne peut non plus y en avoir deux paires et une impaire, ni trois impaires. Donc il y en a une paire et deux impaires.
En transformant l'équation en congruence (mod 4) on voit qu'il n'est pas possible que x et y aient des valeurs impaires et z une valeur paire. Donc z a une valeur impaire, l'une des deux inconnues X, y, par exemple x, a une valeur paire, et l'autre y une valeur impaire. Soit
y étant impair. L'équation devient
x', y, z ayant des valeurs impaires, sans facteur commun. Nous allons faire la démonstration pour une équation plus générale :
t2^"X^ = 2* — y* (e = dr I n >> 0 x, y, z impairs sans facteur commun). Cette équation s'écrit :
(9) £a2'Hc* = (z — y2)(2 4__y2).
On voit sans peine que le plus grand commun diviseur de z — y^ Qt z -\- y^ est égal à 2. Donc on a :
z — y^ =■ &'3w* et z -h y* = e"2*''~^u* ou
z — y^ =z e'22~-ïa* et z -^ y^ = e"2u* (s', e" =db I, u et u impairs et premiers entre eux).
Mais le second système se tire du premier en changeant zen — z, s! en — s", s" en — s', u en y et y en u. Il suffit donc de considérer le premier. On en tire.
Se) y» = e"a2n-2y4 e'„4.
Si n >• I, cette équation transformée en congruence (mod 4) donne
1 = — e' (mod 4).
Donc s' = — I et l'équation (lo) devient
g"2«n-2y4 — y2 ui
c'est-à-dire une équation de même forme que (g) mais l'exposant n ayant diminué d'une unité. En répétant ce procédé autant de foisqu'il est nécessaire on arrive à une équation de même forme quer (9) mais où n = i , soit
» 4sa;* = z^ — j* (x, y, z impairs).
Or, en transformant cette dernière en congruence (mod 8) onvoit qu'elle est impossible.
Le théorème de Fermât est donc vrai pour n = 4.
Remarque. — Il est évident que si le théorème de Fermât est vrai pour une valeur de n, il l'est aussi pour toute valeur de n multiple de la précédente. Donc le théorème de Fermât est vrai pour toute valeur de n divisible par 4.
310. — Théorème de Fermât dans le cas de n = 3. — Nous écrivons l'équation de Fermât sous une forme plus symétrique en changeant z en — z
Lemme I. — 5i ton a
x2 — a;y 4- j* = «' avec D(x,j) = i
l'une des quantités x, y, x — y est divisible par 6.
En effet, u' étant représentable primitivement par la formfr (i, — I, i), comme il n'y a qu'une classe de déterminant 3, u est représentable par la même classe, et l'on déduit les représentations primitives de u' de celles de u par les formules de la multiplication des formes (n" 264).
En posant :
la formule de la multiplication des formes donne
u» = X» — XY -h Y*
(Y = 3?ri($,l).
THÉORÈMI DE FERMAT POUR n = 3 6oi
Donc une représentation de u*est, ou bien celle-là, [ou bien une de celles qu'on en déduit par les substitutions automorphes de (i, — I, i), c'est-à-dire
X, Y ou — X -h Y, - X ou — Y, X — Y
ou l'un de ces trois systèmes changé de signe.
Dans la première de ces représentations la valeur de la seconde inconnue à savoir 3^/j(^ — 'f)) est divisible par 6, dans la seconde c'est la différenca entre les valeurs des deux inconnues à savoir (— X + Y) + X, etc.
Lemme II. — Sur les trois valeurs de x, y, z constituant une solution primitive de l'équation {ii) il y en a une qui est divisible par 6 (^).
Il y a au moins une des trois valeurs qui n'est divisible ni par 2 ni par 3. Supposons que ce soit z. Ecrivons :
OU
(i2) (x -}- y) (x^ — xy -h y^) = — z^
Les valeurs de x -\- y etx^ — xy -{-y^ sont premières entre elle»^ car un facteur premier commun devrait diviser
(as + yY — {x- — xy-\- y*) ou 3xj.
Mais ce ne peut-être 3 puisque z n'est pas divisible par 3.
Donc ce serait un facteur de x ou de y, et divisant x h- y il diviserait à la fois a: et y ce qui est impossible.
Dans ces conditions l'égalité ( 1 2) exige que x + yetx^ — ocy-\- y* soient tous les deux, des cubes. Soit
jr2 — xy + V* = u'.
Alors, d'après le lemme, si ni oc ni y n'étaient divisible par 6, il faudrait que x — y le fut.
Mais cela est impossible parce que a; et y sont, Tun pair, l'autre impair.
Ces deux lemmes démontrés revenons à l'équation (11) où nous
(1) On voit facilement qu'il y en a une qui est divisible par 2, et une qui est divisible par 3 [en transformant en congruence (mod 9) et s'appuyant sur ce que (3/i ± 1)' ^ d: 1 (mod 9)]. Mais on ne démontre pas ainsi que ce soit la même valeur qui est divisible à la foi» par 2 et par 3.
supposerons que c'est z qui est divisible par 6. Nous posons en conséquence
On a
{x + y) (x* — xy-\- ^2) == a»« 3»«f»
a;, y, ^ n'étant divisibles ni par 2 ni par 3.
Cherchons comment les facteurs 2 et 3 se distribuent dans le premier membre. Or, a; -+- y est pair tandis x^ — a;j -+- y* est impair, donc le facteur 2"" est contenue dans x -\~y.
D'autre part on a
^^^|(mod3) (e, e'=±i).
y = £ ) Alors
a: 4- J 5E e + e' a;2 — xy r+- j* ^ 2 — ee'
On voit qu'on a pas s = ê' car si cela était aucun des facteurs 05 4- y , œ' — '^y -^'f' ne serait divisible par 3. On a donc e = — s'.
Comme d'ailleurs rien ne distingue encore x de y, on peut supposer
( y ^ — 1 (mod o).
Alors les deux facteurs a: 4- y et ce' — ajy -f- y' sont tous les deux divisibles par 3. Mais le second n'est pas divisible par 9, car en posant X = 3h -+- i , y = 3/c — i , on trouve
ic* — a;y H- y2 = 9 (/i^ — hk -h h^ -h h — k) -h 3.
D'ailleurs oî + y et œ* — xy -+- y^ ne peuvent avoir d'autres facteur commun que 3, car on voit comme plus haut qu'un facteur premier commun divise 3a;y. Il résulte de tout ceci que
(i4) ix-i-y— 2 0 u
(a;* — xy ->r y^ = 3u'
U, y n'étant divisibles ni par 2 ni par 3 et étant premiers entre eux. La seconde de ces équations s'écrit :
THÉORÈME DE FERMAT POUR II = 3 6o3
les valeurs de — s— ^ et — o-^ étant entières d'après (i3). Alors on voit comme plus haut qu'on a pour v l'expression V = ^* — h + '^.^ et pour — ô— ^ et — 0—=^ 1 un des systèmes de valeurs suivants :
ou
ou
?^ = 3ïri{t rj) ^ = $3 3t^2 ^ ^3 3t^^($ ^)
OU les systèmes de valeurs précédents changés de signes, et qu*il est inutile d'écrire puisqu'on les déduit des précédents par le changement de signe de Ç et yj.
De ces trois systèmes de valeurs, les deux derniers sont inacceptables.
En effet le second donne
3X — y X -\-Y o>- ft \
g-^ 3--^ = 3$T,($ Tl)
d'où
x-{-y= 9^T,(£ — r.) H- 3/ ou
23m 33„-lu3 ^ gï^^(^ — n)-\-Sy
égalité impossible puisque les termes 2*"'3^"~'u' et 9ç/;(| — y3)sont divisibles par 9 tandis que 3j ne l'est pas.
L'impossibilité du troisième système se voit de même en écrivant : X -+- y= 9|/;( — ç — y}) -+- 3x. Il reste donc :
Alors la première des équations (i4) devient :
?T,(? — Ti) = 23'"3'(''-')u3.
Deux quelconques des facteurs du premier membre ^, yj et ^ — yi
6o4 THÉORIE DES NOttBBES
sont premiers entre eux, car un facteur commun à ces nombres diviserait a: et y. Donc chacun d'eux est un cube et l'on a :
i5) qrs = a"'3'*~*u
l£ facteur 3 n'entrant que dans l'un des facteurs </, r, s. On a alors
équation de même forme que l'équation (i i). Les valeurs des inconnues y seraient premières entre elles deux à deux. De plus elles seraient toutes différentes de zéro, car sinon u serait nul et par suite aussi z. Mais celle des trois valeurs de q, r, s qui contiendrait le facteur 3 ne le contiendrait qu'à la puissance n — i^ d'après (i5).
Ainsi on aurait déduit des solutions supposées de l'équation (i i), d'autres solutions, dont aucune ne serait nulle, de la même équation et où le facteur 3 entrerait avec un exposant diminué de une unité.
De proche en proche on arriverait donc à des solutions dans lesquelles le facteur 3 n'entrerait pas ce qui est impossible.
Corollaire. — Le théorème de Fermât est vrai pour toute valeur de n divisible par 3.
I. — Dans un triangle rectangle en nombres entiers i" l'un des côtés de l'angle droit est un multiple de 4, 2" Tun des côtés de l'angle droit est un multiple de 3, 3° l'un des trois côtés est un multiple de 5.
n. — Déterminer un triangle rectangle en nombres entiers connaissant un côté de l'angle droit. Nombres des solutions Nombre des solutions primitives.
III. — Déterminer un triangle rectangle en nombres entiers connaissant l'hypoténuse. Le problème n'est pas toujours possible.
IV. — Déterminer un triangle rectangle en nombres entiers connaissant la différence des deux côtés de l'angle droit.
NOTES ET EXERCICES 6o5
V. — Il n'y a pas de triangle rectangle en nombres entiers où la bissectrice de l'angle droit (extérieure ou intérieure) soit un nombre rationnel.
VI. — Dans un triangle rectangle en nombres entiers les deux bissectrices de l'un des angles aigus sont en même temps rationnelles ou irrationnelles. Déterminer les triangles dans lesquels elles sont rationnelles. Déterminer les triangles dans lesquels elles sont entières. Ce dernier cas ne peut se présenter dans les triangles primitifs. Les bissectrices des deux angles aigus ne peuvent être rationnelles en même temps. {Bahier. Recherche... des triangles en nombres entiers. Paris Hermann 1916).
VII. — Trouver les triangles rectangles en nombres entiers où la hauteur est un nombre entier. Gela n'arrive jamais pour les triangles primitifs (Bahier loc. cit.).
VIII. — Trouver les triangles rectangles en nombres entiers dans lesquels le périmètre est un carré.
IX. — Trouver les triangles rectangles en nombres entiers dans lesquels la somme des deux côtés de l'angle droit est un carré.
X. — Trouver les triangles rectangles en nombres entiers dans lesquels deux médianes sont orthogonales.
Les 3 questions précédentes se ramènent à des équations diophantiennes homogènes, du second degré, à trois variables, dans lesquelles «ne solution est évidente.
XL — Résoudre en nombres entiers x- -h ly^ = 52*.
XII. — Problème de Héron. — Déterminer les triangles dont les côtés tt la surface sont des entiers.
Dans un tel triangle les tangentes des ~ angles sont rationnelles.
Posant
(t -+- a) f»^ — ta) a— ^^
De/,
triangles
primitifs :
ait'
D étant le plus grand commun diviseur des trois numérateurs. On démontrera que réciproquement ces trois formules répondent à la <jue8tions c'est-à-dire donnent pour S une valeur entiire.
XIII. — La surface d'un triangle rectangle en nombres entiers n'est jamais un carré ni le double d'un carré (Fermât).
6o6 THÉORIE DES NOMBRES
C'est-à-dire que le système diophantien
yx = lhtt (^>'^ impair x, y > o)
est impossible. On peut se borner aux solutions primitives. D'après la première équation on sait que x, y sont premiers entre eux, que Tun d'eux X par exemple est pair et l'autre impair. Alors d'après la seconde
X = 2*U^ y = v^ et la première devient
Or on sait que cette équation est impossible pour a, v, iv çzi o.
XIV. — Aucun nombre triangulaire sauf l'unité n'est égal à un bicarré.
