XVI. — L'équation diophantienne

Ax» -h z(3j2 , .2^ = o

n'a pas d'autres solutions que celles où x = — z.

Si l'on coupe la courbe X' -h Y^ = i par la droite Y =t{X — i) on est conduit, après avoir supprimé la solution X = i Y = o à une équation du second degré. Or, d'après le théorème de Fermât, la courbe n'a pas d'autre point rationnel outre X = i, Y = o que X = o, Y = 1 , Il en résulte que le déterminant de l'équation du second degré ne peut être carré parfait pour d'autre valeur rationnelle de t que t = — 1 . En transformant légèrement cette propriété on obtient le théorème annoncé.