X -i-y / — c = ip -h q s/ — c) ^r -f- s /— o) d'où
X = pr — cqs y =ps -^ qr
et pour ces valeurs de x, y, on a bien en effet
ipr — cqs)^ -h c{ps -h qr)- = (p* H- cg*) (r» + es*).
Mais le raisonnement d'Euler est inexact. On n'obtient pas ainsi toujours toutes les décompositions de x^ H- cy^. C'est-à-dire que les diviseurs d'un nombre de la forme x^ H- cy^ ne sont pas toujours de cette forme. Exemple : i^ H- 5 . 2^ = 21 se décompose en 3 X 7. Or ni 3 ni 7 ne sont représentables par la forme x^ -h 5y^. On voit que la question est intimement liée à celle de la multiplication des formes. Si une forme primitive (a, 6, c) a un discriminant D auquel ne correspond qu'une classe primitive, tout diviseur d'un nombre représenté primitivement par cette forme le sera aussi. Mais s'il y a plusieurs classes primitives de déterminant D, ces diviseurs peuvent n'être représentés que par d'autres classes.
6o8 THÉORIE DES NOMBRES
Dans l'exemple précédent D = 20 et il y a deux classes primitives (i, o, 5) et (2, 2, 3). Les nombres 3 et 7 ne ne sont pas représentés par (i, o, 5) mais il le sont par (2, 2, 3). Au contraire pour les formes x^ H- y', £c' H- ay'^, x^ -+- 3j^, ce* + ^j', les résultats d'Euler sont exacts. Ainsi le besoin d'une théorie exacte se faisait sentir. C'est Gauss qui l'a donnée le premier pour les nombres du corps
312. — On a déjà défini (n° 39) ce que c'est que le corps C(v/m). C'est l'ensemble des nombres p 4- ç v^m p e\ q étant rationnels.
En particulier pour m = — i et posant pour abréger i = \/ — i, on a le corps C(/). C'est l'ensemble des nombres imaginaires p -+- qi où p el q sont rationnels.
Toute opération rationnelle effectuée sur des nombres du corps C(i) donne comme résultat un nombre du même corps en vertu des identités
(p + gi) -+- (p' + 9'0 = (P + p') + (?-+- q')i (p + qi) - (p' + g'O = (p - p') -H (9 — q'y
f/> -+- qi) (p' -+- q'i) = pp' — qq' + {pq' -h p'q)i
p-+-9t' pp' -H gq' pq' — p'q .• p' + q'i "~ p" -^- q'* p" -+- q"'
La norme du nombre p -h 91 est par définition le nombre/)* -j- 9*. Nous la désignerons par %(p + qi).
C'est un nombre réel et positif, sauf le cas de p -h qi = o dont la norme est nulle (n° 40).
La norme d'un produit de facteur est égale au produit des normes des facteurs (n" AO).
La norme du rapport de deux nombres est égale au rapport des normes de ces nombres.
Les propriétés précédentes ont un caractère algébrique. Nous passons maintenant à des propriétés d'un caractère arithmétique.
313. — On appelle entier du corps C(i), tout nombre a 4- bi dans lequel a et 6 sont entiers.
0) Gauss. Werke II, p. 171.
DIVISION DANS LE CORPS C (î) 609
La somme, la différence, le produit de deux entiers sont des entiers. En général toute opération rationnelle entière effectuée sur des entiers donne un résultat entier.
Anneau des entiers imaginaires. — Tout ensemble de nombres, ou plus généralement d'éléments, jouissant de la propriété précédente s'appelle un anneau. Ainsi les entiers imaginaires forment un anneau.
Le rapport de deux entiers
a -\- bi ac -\- bd . bc — ad .
rapport qui existe et est déterminé si c -f- di ;zf o, n'est un entier que si ac -+- hd et bc — ad sont divisibles par c^ + d^, dans ce cas on dit que a -H 6c est divisible par c + di, mais cela n'a pas lieu en général.
Théorème. — Pour quun entier soit divisible par un autre, il faut que la norme du premier soit divisible par celle du second.
En effet il faut que la norme du dividende soit égale à celle du diviseur multipliée par celle du quotient.
Mais cette condition n'est pas suffisante. Les conditions nécessaires et suffisantes ont été données plus haut.
Mais il existe en tout cas une opération analogue à la division des entiers ordinaires (L 83).
Etant donnés deux entiers imaginaires A, B, (A dividende et B diviseur) on veut déterminer un entier Q (quotient) et un entier R [reste) tels que A = BQ H- R ef que
La première condition est satisfaite en prenant
R = A — BQ
et la seconde condition s'écrit
%(A — BQ) < U(B).
ou
et il suffit de déterminer l'entier Q par cette condition. Si l'on pose
^=p -]- qi, Q = x-i-yi, Cahsn. — Théorie des nombres, t. II. 89
6io
elle s'écrit
On y satisfait en prenant pour x, y, les valeurs entières les plus rapprochées respectivement de /) et q.
En effet, dans ce cas, les valeurs absolues de p — x et gr — y
sont au plus égales à - et l'inégalité (i) est satisfaite.
On voit d'ailleurs que ce n'est pas la seule solution et qu'il peut y en avoir jusqu'à quatre, obtenues en prenant pour x et y des valeurs approchées à moins d'une unité près de p et 9.
On le voit facilement par une représentation géométrique.
Nous représentons le nombre a H- 6/, à la façon ordinaire par le point de coordonnées a, b, dans un système d'axes rectangulaires,qui est dit son aflixe.
Alors les entiers sont représentés par les points du réseau formé par les parallèles à Oy d'abcisses entières et les parallèles à Ox d'ordonnées entières.
Si un nombre a comme affixe un point M la norme de ce nombre est OM . Plus généralement si deux nombre ont comme affixes M et M' la norme de leur différence est MM'* .
Le problème posé plus haut revient donc au suivant : étant
donnée l'affixede g trouver un point du réseau qui en soit distant
de moins de i .
Un tel point ne peut être que l'un des sommets L, M, N, P du
carré dans lequel se trouve l'affixe de g . Traçant de chaque point
du réseau comme centre un cercle de rayon i , on partage chaque carré en 9 régions (fig. 2).
Fig. 9.
DIVISION DANS LE CORPS C (f) 6ll
Lorsque ^ est dans la région Rj il est distant de chaque sommet
<de moins de i et il y a quatre solutions, lorsque « est sur le con-
*our de R, ou dans Rj, R3, R^, R5 il y en a trois, lorsque « est
sur la partie du contour de ces dernières qui n'appartient pas au contour de R, ou dans Rs, R7, Rg et Rg ou enfin sur les côtes
du carré sans être en un sommet il y en a deux. Enfin lorsque d
est un point du réseau, c'est-à-dire est entier il n'y a qu'une
A solution, à savoir g=^, R = o.
La division d'un entier A par un entier B peut ainsi, sauf le cas où elle se fait exactement, se faire de plusieurs façons. On peut donc considérer plusieurs restes, absolument comme dans la division des entiers ordinaires on peut considérer un reste positif et un reste négatif (L 87) ('). Il faut pouvoir distinguer entre ces restes.
Considérons le point -5 et supposons d'abord qu'il soit à l'intérieur d'un carré LMNP.
Nous considérons les sommets de ce carré successivement en partant de celui qui a la plus petite abcisse et la plus petite ordonnée et tournant dans le sens positif. Certains de ces sommets (tous dans le cas de la figure (2)), correspondent à un reste.
Nous appellerons premier reste celui qui est ainsi placé le premier, second reste celui qui est placé le second, etc. Il peut ainsi arriver qu'il n'y ait pas de quatrième reste, ou qu'il n'y en ait ni troisième ni quatrième.
Par exemple si 0 est sur le côté d'un carré, sans être en un
sommet, il y aura deux restes, celui qui correspond au sommet de gauche sera le premier reste l'autre sera le second. (Lorsque A et B sont réels, le premier reste est aussi le reste qu'on a appelé positif, l'autre lereste négatif).
Enfin si o est un point du réseau, c'est-à-dire est entier, il n'y
a qu'un reste qui est zéro.
(') A ce propos voir, au commencement de ce volume, l'erratum relatif à la ,page 57 du premier volume.
6l2 THÉORIE DES NOMBRES
De tous ces restes celui qui a la plus petite norme s'appellerareste minimum. Il peut d'ailleurs y en avoir plusieurs ; cela arrive
quand la partie réelle ou la partie imaginaire de g est de la forme
a H~ -{à entier).
314. Unités. Nombres associés. — Nous appellerons unités les entiers imaginaires qui divisent tous les autres. Dans l'ensemble des entiers ordinaires il y a deux unités & savoir ± i. Ce sont aussi des unités dans l'ensemble des entiers imaginaires mais nous allons voir qu'il y en a deux autres.
Pour qu'un entier imaginaire soit une unité il faut et il suffit qu'il divise i . C'est évident.
Pour qu un entier imaginaire soit une unité il faut et il suffit que sa norme soit égale à i .
La condition est nécessaire puisqu'une unité devant diviser i^ sa norme doit diviser la norme de i c'est-à-dire i . Donc cettô norme doit être égale à i .
Elle est suffisante parce que tout entier divise sa norme. Donc si un entier a pour norme i il divise i.
Reste donc à trouver les entiers x -4- yi tels que
Il y a quatre solutions
donc quatre unités
Nombres associés. — On a :
a -\- bi ... a -h bi , . a -^ bi ,
= a + 01 = — a — 01 — r— == b — ai
a -4- 6i L , • 7— = — 0 -\- ai.
On dit que deux nombres sont associés lorsque leur rapport est une unité. On voit alors que tout entier a -\- bi a quatre associésà savoir
a -{- bi, — a — bi, b — ai, — 6 + ai.
UNITÉS. NOMBRES ASSOCIES 6l3
Dans l'ensemble des entiers ordinaires tout entier a a deux associés, à savoir a et — a.
Deux nombres associés ont les mêmes diviseurs et les même muldiples.
Soit en eJBFet A et AU deux nombres associés, U étant une unité.
M Tout multiple de A soit MA est égale a ^ . AU donc c'est aussi
■un multiple de AU.
