A AU

Tout diviseur de A soit p est égal à ^ , donc c'est aussi un

-diviseur de AU.

Tout cela est une généralisation de ce qui se passe pour les «entiers ordinaires.

Représentation géométrique des nombres associés. On voit imméiiiatement que les affixes de quatre associés a -h bi^ — a — bi, h — ai, — 6 -h ai forment les sommets d'un carré dont le centre est à l'origine. On les obtient en faisant tourner l'un d'eux successivement de G, -, Tt, — ' autour de l'origine.

Représentation géométrique des multiples d'un nombre a -h bi. Un tel multiple est

(x H- yi) (a -h bi) ou x{a -h bi) H- y{a H- bi)i. Soit A l'affixe de a -f- bi, celle de i{a h- bi) s'obtient en faisant tourner A de - autour de o, soit A'. Alors les affixes des nombres x{a -+• bi) -h y{a -\- bi)i

^sont les sommets du réseau construit sur le carré dont o, A, A' sont trois sommets. Ce réseau reste identique à lui-même quand ont le

fait tourner de o, -, it, — autour de l'origine, ce qui revient à

<lire qu'un nombre et ses associés ont les mêmes multiples. (Dans la représentation géométrique des entiers ordinaires (I. i44) le réseau des multiples d'un nombre reste identique à lui-même quand on le fait tourner de o, ou n autour de l'origine). Tout ceci ne suppose pas a et 6 entiers.

315. Plus grand commun diviseur. — De la théorie de la division (n° 313) on déduit comme par les entiers ordinaires (I. 96)

6l4 THÉORIE DES NOMBRES

que les diviseurs communs à deux entiers sont les mêmes que les diviseurs communs à l'un d'eux et au reste de la division du premier par le second.

Soient A et B deux entiers, supposons %(A) > %(B). Soit R le reste de k division de A par B.

La recherche des diviseurs communs à A et B est ramené par le théorème précédent à celle des diviseurs communs à B et R. Mais il en résulte qu'en recommençant celte opération autant de fois qu'il est nécessaire, comme %(R} < %(B), on arrive à une division ou le reste a une norme nulle, c'est-à-dire à une division qui se fait exactement. Soit D le diviseur de cette division.

Les diviseurs communs A et B sont les diviseurs de D, et D es* dit le plus grand commun diviseur de A et B.

Mais il y a quatre entiers qui jouissent de la même propriété à savoir les quatre associés de D. Dans les entiers ordinaires nous avons fixé le plus grand commun diviseur par la condition qu'il est positif (L 97). Ici nous le fixerons de la façon suivante :

Traçons dans le réseau des entiers imaginaires les bissectrices OD, OD' des angles xoy et x'oy et considérons la partie dn plan comprise entre ces deux demi-droites, et sur OD' (mais non sur OD). Nous appellerons cette partie du plan le domaine A.

Nous appellerons domaines A,,-A2, A3, ceux qui se déduisent de

A par rotations autour de 0 de - , t^, — •

De quatre nombres associés, il y en a toujours un et un seul qui est dans le domaine A.

Analytiquement cela veut dire que quatre nombres associés il y. en a un et un seul x -\- yi, partie satisfaisant à la condition

ou aux conditions

Remarquons que les nombres du domaine sont deux à deux imaginaires conjugués sauf ceux dont les affixes sont situées sur OD', c'est-à-dire ceux de la forme x — xi. *

Ceci posé nous pourrons fixer le plus grand commun diviseur de deux entiers imaginaires, en disant qu'il est dans le domaine A.

PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR 6l5

Exemple, soient les entiers 67 — 791 et 64 — 601. On a les opéralions suivantes :

On trouve comme plus grand commun diviseur — 5 4- 71 qui, ramené dans le domaine A devient 7 + 5i.

Les diviseurs communs à 67 — 79( et 64 — 6oi sont les diviseurs de 7 -1- 5i.

Quant à la question de trouver tous les diviseurs d'un entier a 4- bi, elle se résout de la façon suivante. On cherche tous les diviseurs positifs de a^ -h 6^ ce seront les seules valeurs possibles pour les normes des diviseurs. On décompose chacun de ces diviseurs lorsque cela est possible en une somme de deux carrés, di | y 2 lesquels fournissent la partie réelle et la partie imaginaire de diviseurs possibles. Reste à voir si les entiers d -i- fi obtenus sont bien des diviseurs de a -4- bi.

On trouve ainsi que les diviseurs de 7 -f- 5/, appartenant au domaine A sont I, I — i, & — i, 7 + oi.

316. — Toutes les théories développées sur les entiers ordinaires dans le tome I de cet ouvrage s'appliquent aux entiers imaginaires avec quelques petites modifications évidentes. Rappelons les principales. D'abord celles du chapitre Yll, sur les entiers premiers entre eux, le plus grand commun diviseurs de plus de deux entiers, le plus petit commun multiple.

Il en est de même de la théorie des équations diophantiennes du premier degré (I chap. IX, Xet XII) saufquelques petites modifications.

Par exemple dans le théorème (I. 187) la condition à laquelle doivent satisfaire les X est que leur déterminant soit égal à l'une des quatre unités : ±1, ±ii. Dans la remarque I. 188 il faut dire « norme » au lieu de « valeur absolue ». Dans le théorème I. 190, s désignera une quelconque des quatre unités. Le théorème d'Heger est applicable ainsi que sa généralisation (I. 196 et 196).

Le problème : Former avec des entiers imaginaires tous les déterminants d^ordre n égaux à une unité se résout comme pour les

6l6 THÉORIE DES NOMBRES

entiers ordinaires (I. 209 à 212). La théorie arithmétique des formes linéaires à coefficients entiers s'applique aux entiers imaginaires.

Les substitutions unités seront ici des substitutions de déterminant égal à d= I, =t I. En appliquant une telle substitution à une forme ou à un système de forme on obtient une forme oii un système équivalent.

Toute forme linéaire a une forme réduite dxi {l. 281), d appartenant au domaine A('). Pour un système de formes linéaires, il y a une forme réduite imparfaite (L 286), les coefficients 0^, , , cJ^as» ••• ârr appartenant au domaine A, et une forme réduite parfaite dans laquelle les conditions supplémentaires sont que chaque coefficient âij{i ">]) soit par rapport à o\, un premier reste (*). Deux formes réduites ou deux systèmes réduits parfaits ne peuvent être équivalents que s'ils sont identiques.

Toute forme bilinéaire se ramène à une forme réduite (I. 802) et même à une forme réduite parfaite (L 3o3) dans laquelle les coefficients sont des entiers du domaine A dont chacun divise le suivant. Les coefficients sont les diviseurs élémentaires du tableau des coefficients. Leurs propriétés sont les mêmes que pour les entiers réels.

Les propriétés des congruences (I chap XVII) sont vraies aussi).

317. Ensemble complet (mod a -+- bi). — C'est un ensemble d'entiers jouissant de la propriété que tout entier est congru (mod a H- bi) à l'un d'eux et à un .seul. (Généralisation de I. 3i4).

Proposons- nous de former un tel ensemble et de compter le nombre de ses éléments.

Pour que x •+- yi et x' ■+■ yi soient congrus (mod a -h bi) il faut et il suffit que x -h yi — {x' -+- y'i) soit divisible par a -H bi c'està-dire que a{x — x') -f- b[y — y') et b{x — x') — a{y — y') soient divisibles par a* -+- b^ ou encore que

ax -h by :^ ax' -h by' ) , , „ , ,, bx — ay ^ bx' — ay )

'^) Cette condition remplace la condition d > o de I. 281. (*j Cette condition remplace la condition o < Sj; < 8,,.

ENSEMBLE COMPLET (mOD a -{- bi) ' QlJ

La question est donc un cas particulier de celle traitée déjà

Le nombre d'éléments du système complet est, avec les notations employées à cet endroit

nV^

car le déterminant a* -f- b^ des deux formes ax -h by et bx — ay est différent de zéro.

De plus

Donc le nombre cherché est a* + 6*.

Le nombre des éléments d'un système complet (mod a -4- ^0 ^^' égal à la norme de a -\- bi.

On peut retrouver ce résultat directement, par exemple au moyen de la représentation géométrique. Soit A l'affixe de a -+- bi.

Considérons le réseau des multiples de A (n** 314 j.

Prenons dans le plan un carré G quelconque équipollent au carré OAA'A" et supposons qu'il n'y ait aucun point du réseau sur le contour de G. Alors les points du réseau situés à l'intérieur de G Jorment un système complet (mod a -f- bi).

En Qffet : 1° si l'on prend deux de ces points M' et M" ils sont incongrus (mod a -h bi). Gar si l'on mène de l'origine un vecteur 01 équipollent à MM' le point I est évidemment à l'intérieur du carré OAA'A" donc I n'est pas l'affixe d'un multiple de a + 61, donc la différence des affixes de M et M' n'est pas divisible par a ■+■ bi; 2° Si on prend un point quelconque M du réseau il y a un point du réseau situé à l'intérieur de G et qui est congru à M (mod a -{-bi).

En effet construisons un réseau sur G. Le point M sera à l'intérieur d'un carré G' de ce nouveau réseau. Gonsidérons la translation qui amène G' sur G ; elle amène M en un point du premier réseau intérieur à G et qui répond à la question.

Quant au nombre des éléments du système complet nous voyons

6l8 THÉORIE DKS NOMBRES

d'après le théorème (I. 149) qu'il est égal & la surface du carré C, c'est-à-dire à a* -+- t'.

Si l'on prenait un carré C tel qu'il y aurait des point du réseau sur un côté (mais non en un sommel) la solution précédente s'appliquerait encore, sauf qu'il y aurait autant de points du réseau sur le côté opposé et qu'il ne faudrait prendre que les points qui seraient sur l'un de ces deux côtés.

De même, si l'un des sommets de C est un point du réseau, les quatre sommets de C en sont aussi et il n'en faut prendre qu'un.

318. Systèmes de congruenoes. — Les conditions de possibilité sont les mêmes que pour les entiers ordinaires (I. 334 à 336). Cherchons le nombre de solutions. Soît d'abord une seule congruence (voir I. 23o).

AX = B (mod M).

La condition de possibilité est que D(A,M) divise B, et la solution générale est donnée par

X = Xo -H p... j.,. (A entier complexe arbitraire)

Il faut voir combien il y a de ces nombres incongrus deux à

deux (mod M). Or, si l'on prend deux solutions Xo -+- rv, » %,^ A

M et Xp H- t)/A iyiv A', pour qu'elles soient incongrues (mod M) la

condition est que t^, . wv (A — A) ne soit pas divisible par M,

c'est-à-dire que A' — A ne soit pas divisible par D(A,M).

Le nombre cherché est donc le nombre des éléments d'un système complet (mod D(A,M), c'est-à-dire %[D(A,M)].

Partant de là on généralise facilement le résultat L 337 ^^ ^^ trouve pour le nombre des solutions incongrues (mod M) d'un système de congruences linéaires (mod M) supposé possible le nombre

[%(M)]»-"[%D(E,,M)] X [UD(E2.M)] x ... X [^lJ)(En,M)].

319. Substitutions linéaires (mod M). — (Voir L 339). Il y » [%(M)J^ substitutions linéaires à n variables incongrues deux à

LES NOMBRES PREMIERS OU CORPS C (/) 6l9>

deux (mod M). Celles dont le déterminant est premier à M sont réversibles. Deux systèmes de p formes linéaires à n variables- (/) < n dans lesquelles le module est premier à M sont équivalents entre eux.

Tableaux entiers (I, chapitres XIX et XX). Le lecteur trouvera sans peine les légères modifications à apporter à cette théorie.

320. Nombres premiers absolus . — On appelle nombre premier un entier appartenant au domaine A et qui n'a d'autres diviseurs appartenant à ce domaine que lui-même et le nombre i .

Il en résulte qu'il n*a d'autres diviseurs que lui-même, ses associés et les unités ± i, =h /. Réciproquement tout entier qui n'est divisible que par lui-même, ses associés et les unités est premier s'il appartient au domaine A. S'il n'appartient pas au domaine A il est seulement associé d'un nombre premier

Exemples. — On constatera que i — /, 3, 2 -f- î, 2 — i sont premiers. Le nombre i -\- i n'est pas premier, il est seulement associé du nombre premier 1 — /. De même i — 2/ est seulement associé de 2 — /.

Tout entier qui n'est pas premier et qui est différent d'une unité est décomposable en un produit de facteurs premiers multiplié par une unité. C'est la généralisation du théorème L 896 ; elle se démontre facilement. Quant au théorème L Sgô il ne se généralise pas, parce que le produit de deux entiers du domaine A n'appartient pas toujours à ce domaine.

Tout entier est représentable et cela d'une seule manière en un produit de la forme

i>> Pa Q? Rï ...

P, Q, R, ... étant des Jacteurs piemiers ; a, ,3, 7, ... des expO' sants positifs ; X étant égal à o, i, 2 ou 3.

C'est l'analogue du théorème L 296 ; il se démontre de la même façon.

Les résultats de L 899 à 4o3 s'appliquent encore.

321. Les nombres premiers du corps C(i) déduits des nom*^ bres premiiers ordinaires. — Nous allons chercher successivement les nombres premiers du corps C{i) : i" qui sont réels ; 2° qui sont sur OD' ; S"* qui ne sont ni réels ni sur OD'.

Nombres premiers réels du corps C(i). Il est évident que ces nombres ne peuvent être cherchés que dans les nombres premiers ordinaires. Voyons donc quels sont ceux de ces nombres qui sont encore premiers dans le corps C(i).

Théorème. — Les nombres premiers ordinaires qui se décomposent en une somme de deux carrés, ne sont pas premiers dans le corps C(i) et réciproquement.

Soit :

p = a» + 6^ ^ (a -t- bi){a — bi).

Aucun des deux facteurs a -h bi, a — bi n'est une unité ni un associé de p puisque leur norme est p. Donc p n'est pas premier.

Réciproquement soit p un nombre premier ordinaire qui ne soit pas premier dans le corps C(i). Il aura un facteur qui ne sera ni un associé de p, ni une unité, et qui sera imaginaire ; soit a H- 6/ ce facteur et soit

pz= {a -h bi){c -h di).

Le facteur c -f- di ne sera également ni un associé de p ni une unité.

De l'égalité précédente on déduit :

Comme aucun de facteurs du second membre n'est égal à i , ceci exige que

ce qui démontre le théorème.

Nombres premiers qui sont sur OD'. Les entiers situés sur OD' sont de la forme

^ a — ai (a > o).

Un tel nombre ne peut être premier que si d = i ,

Il ne peut donc y avoir comme nombre premier sur OD' que I — i.

D'ailleurs ce nombre est effectivement premier, car sa norme étant 2, il ne peut être divisible que par des entiers de norme i c'est-à-dire par des unités ; ou par des entiers de norme 2 . Or les entiers de norme 2 sont ± i d= 1 qui sont tous des associés de 1 — i.

Nombres premiers qui ne sont ni réels ni sur OD'. Soit a -h bi

LES NOMBRES PREMIERS DU CORPS C (î) 021

un tel nombre. Le nombre a — bi est premier aussi. En effet, d'abord il est dans le domaine A, ensuite s'il avait un facteur c — di différent d'un de ses associés et d'une unité, le nombre a ■+■ bi aurait le facteur c -+- di qui ne serait ni un associé de a -h bi ni une unité.

On a

(a + bi)ia — bi) = a^ + 6«

et cette égalité donne la décomposition de a^ -4- b^ en facteurs premiers dans le domaine C(i). Le nombre a' -+■ b^ n'est donc pas décomposable autrement, il en résulte en particulier que c'est un nombre premier ordinaire, car sinon il serait décomposable autrement.

Réciproquement si a" -h 6* (a > | 6 1) est un nombre premier ordinaire, a -+■ bi est un nombre premier dans le corps C(t).

En effet, si l'on avait :

a 4- 6i = (c -^ di){e -hfi).

aucun des facteurs du second membre n'étant une unité, on aurait

auéun des facteurs du second membre n'étant égal i , ce qui est impossible puisque a^ -h 6* est un nombre premier ordinaire.

De plus a -+- bi est dans le domaine A. Donc a + bi est premier. Il en est de même de a — bi.

Résumé. — Les nombres premiers du corps C{i) sont :

1° les nombres premiers ordinaires qui ne sont pas décomposables en une somme de deux carrés ;

2° le nombre i — /;

3° les nombres a + bi pour lesquels a > | 6 | et pour lesquels a* + 6" est un nombre premier impair ordinaire. Ces derniers sont conjugués deux à deux.

322. — Pour achever la question il reste à déterminer les nombres premiers ordinaires qui sont une somme de deux carrés. Pour tout nombre donné on peut le voir par tâtonnements, le nombre des essais étant limité. Mais on peut aussi chercher une règle qui permette de distinguer à priori ces nombres. Or cette règle a été donnée (n" 188). Les nombres premiers ordinaires dé-

<6ja THÉORIE DES NOMBRES

composables'en une somme de deux carrés sont le nombre 2 et les nombres premiers de la forme l^h -\- i. Les résultats précédents peuvent alors s'énoncer :

Les membres premiers du corps C(/) sont :

i" les nombres premiers ordinaires de la forme l\h — i, comme 3, 7, II, 19, ... ;

2° le nombre i — i ;

S** les nombres a -h bi qu'on obtient en décomposant les nombres premiers ordinaires de la forme !\h -k- i en une somme de deux cannés a^ -i- 6* ou a > | 6 | .

Ces derniers sont deux à deux conjugués.

Ainsi

5 = a* -h i' donne 2 H- t et 2 — i i3 = 3* -f- 2* donne 3 -+- 2t et 3 — 21 etc.

Mais le résultat, relatif à la décomposition des nombres premiers ordinaires en une somme de deux carrés, a été démontré en 8 appuyant sur la théorie des formes quadratiques dans le corps C(i).

Comme notre but général est de montrer que la théorie de ces formes peut se déduire de celle des nombres algébriques du second degré, il vaudra mieux, au contraire, démontrer ce résultat en s'appuyant uniquement sur la théorie des entiers du corps G(t).

1° Un nombre premier ordinaire de la forme [\h — i ne se décompose pas en une somme de deux carrés. Car l'égalité

p z= x2 -f- yS

transformée en congruence (mod 4) est alors impossible. 2° Le nombre 2 se décompose en une somme de deux carrés. Car

3° Un nombre premier ordinaire de la forme lih -h i se décomj)ose en une somme de deux carrés.

Soit p un tel nombre. Considérons la congruence

xv-^ ^ 1 (mod p).

Elle admet les solutions x = i, 2, ... p — i, d'après le théoxhme de Fermât.

Mais elle admet aussi la solution x = i, car (i)^'^^ = («)** = i»