LES NOMBRFS PREMIERS DU CORPS C

Elle admet donc dans le corps C{i) plus de solutions diiTérentes ■qu'il n'y a d'unités dans son degré. Or on démontre absolument comme pour les entiers ordinaires (voir n° 324) que cela est impossible quand le module de la congruence est premier dans le corps C(/). Donc p n'est pas premier dans le corps C(/). Donc (n° 321) il se décompose en une somme de deux carrés réels.

Exemple de décomposition en facteurs premiers.

!"■ Exemple soit le nombre réel impair ^725. Dans C(i) il se décompose en 3' . 5* . 7. Les facteurs 3 et 7 sont premiers dans le corps C{i), mais 5 se décompose en (2 H- i) (2 — i).

Donc

2' Exemple. — Soit le nombre réel pair 36o = 2' . 3^ . 5. Le facteur 3 est premier dans C(i), le facteur 5 se décompase en (a -t- i)

Quant à a il se décompose en (i -t- i) (i — i). Mais (i H- 1) n'appartient pas au domaine A, on le remplacera par i(i — i). Alors

3' Exemple, — Soit le nombre ai3o -h 20701. On a d'abord

2i3o -h 20701= 30(71 -t- 69J) = i(i — iy3(2 -h i) (2 — t) (71 -h 691).

Reste à décomposer 71 H- 691. Ce nombre n'a pas de diriseur réel différent d'une unisé, car un tel diviseur doit diviser 71 et 69. Soit en général

a -f- 6i = i^(p -+- /Vi/(g -h q'if ... d'où

(a bi) = (- ifip - p'ifiq - q'i)^ ... d'où

On sait que p^ -h p'S q'^ -+- q'^, ... sont des nombres premiers ordinaires. On voit qu'on les détermine ainsi que a, P, ... en décomposant ^•2 f 52 gjj facteurs premiers. Ici

On en tire facilement

On trouve X = o et finalement ai3o -+- 20701 = i(i — i)*3(2 -h i)(a — i)(i— 0(3 + aiy(5 -+■ a»)-

323. Indicateur. — L'indicateur d'un entier N est le nombre des entiers premiers avec N qui sont contenus dans un système complet (mod N). Cherchons à le déterminer en fonction de la décomposition de N en facteurs premiers : N = P'QP ...

Pour cela résolvons d'abord la question suivante : Soit D un diviseur de N. Parmi les %(N) éléments d'un système complet (mod N) combien y en a-t-il qui sont divisibles par D ?

Soient

Xi, X2, ... Xc,r^,py

les éléments d'un système complet (mod D). Considérons lesexpressions

(2) Xj -h AiD, X2 + AjD, ... Xc^^pj + Afl(^^D^D.

Les A sont des variables à chacune desquelles nous faisons parcourir le^ *l^( p ) éléments d'un système complet ( mod p ). Nous

formons ainsi %(D) X '^(d) ^^ '^{^) valeurs. Je dis qu'elles

forment un système complet (mod N). Pour le démontrer il suffit de démontrer que deux quelconques de ces %(N) valeurs sont incongrues (mod N). Or pour qu'on ait

Xf 4- AfcD = X; -h A^D (mod N)

il faut d'abord qu'on ait

Xi = X; (mod D) d'où

et ensuite

d'où

et par suite

Xi = X, A^D = AiD (mod N)

A;^ = Ai (mod p j

INDICATEDK 625

Donc les deux valeurs X, H- A^^D et X^ + AiD n'en font qu'une.

Ceci posé, pour résoudre la question proposée il reste à voir ♦combien parmi les nombres (2) sont divisibles par D.

Or pour que Xi -h AtD soit divisible par D il faut et il suffit que Xi le soit. Il y a un X, et un seul qui satisfait à cette condition. Alors on peut donner à Ai une quelconque de ses "Iflfr^]

"valeurs. Le nombre cherché est donc l^ln)'

On peut aussi arriver au résultat précédent par des considérations géométriques.

Pour former un système complet (mod N) nous construisons un carré G comme au n" 317 et considérons les points du réseau ' «itués à l'intérieur de ce carré.

Effaçons les multiples de D. Or les multiples de D sont représentés par les sommets d'un réseau construit sur un carré de surface %(D). On voit alors que le nombre de ces points à l'intérieur

de G est â^ml c'est-à-dire T^^f^)*

Ce résultat acquis, on peut reprendre mot pour mot le raisonnement de I. 4o8 et l'on trouve pour la valeur de l'indicateur de N l'expression

«N) = %(N)(,-,-jIp^)(,-^-^j)...

Remarquons que si N est réel cette expression n'est pas égale à l'indicateur ordinaire ^(N).

I" Exemple N = 4726 = 3»(2 -h 1)2(2 — i)» . 7 m = (47«5)'(. - i) (. - l)\< - ^) = / X 3' X 5'.

2* Exemple

N = ai3o -h 207oi =^i{i — i)'3(2 -+- i) {2 — i) (3 -h 2i)\5 -h 21) MN)=(ïn5V^o')(,-i)(,-i)(.-iy(,-jL)(.±)

Les théorèmes L 409 et 4 10 se généralisent immédiatement pour (}'(N).

Caukm. — Théorie des nombres, t. II. («o

On peut considérer des indicateurs de différents ordres (L /Ji» et 412). On généralise le résultat I. 4i3 et l'on trouve

%(M) ' UmM^) ..■ ^'.(M)

pour le nombre des tableaux carrés d'ordre A;, de déterminant D donné, premiers à M incongrus deux à deux (mod M).

Enfin le nombre des tableaux carrés d'ordre k et de déterminant premier à M est

%(M) ^ «;>,(MHa(M) ... ^,(M).

324. Théorème de Fermât. — P étant un nombre premier et A un entier non divisible par P, rentier a''^^^) ~~ ^ — i est divisible par P.

En effet si l'on prend un système complet (mod P) et si l'on y supprime l'élément congru à zéro (mod P), il reste %(P) — i éléments formant un groupe abélien par rapport à la multiplication (mod P). Le théorème annoncé est donc un cas particulier de celui du n° 272 : l'ordre d'un groupe est un multiple de l'exposant d'un quelconque de ses éléments.

Le deuxième énoncé du théorème de Fermât s'applique aussi, P étant un nombre premier et A an entier quelconque on a

A*^MP)=A(modP).

Sur les restes suivant un module premier'? des puissances succèssives d'un entier A.

Si A ^ G (mod P) tous ces restes sont nuls.

Si A ^ G, la suite des restes est périodique, le nombre de termes de la période est un diviseur de % (P) — i . Ce nombre de termes s'appelle l'exposant de A par rapport à P.

Théorème. — Une congruence algébrique à une inconnue de degré m, suivant un module premier P, qui nest pas identique ne peut avoir plus de m solutions.

On en conclut : Soit d un diviseur de %(P) — i , connaissant un entier appartenant à l'exposant d, on obtient tous les entiers appartenant au même exposant en élevant celui-là à des puissances dont l'exposant est un entier positif premier à d.