THÉORÈME DE FERMÂT, CONSEQUENCES

Il y a (p[d) de ces entiers.

La congruence

x^ — 1^0 (mod P)

oh d est un diviseur de %(?) — i a d racines.

Il ya 0 [5I].(P) — i] entiers appartenant à l'exposant ^(P) — i), on les appellera racines primitives de P.

Connaissant une racine primitive G de P, ks entiers appartenant à un exposant donné d, diviseur de 'ït(P) — i, sont donnés par la

Jormule G '' n étant un entier ordinaire premier à d. La congruence

(3) X« = I (mod P)

a D(m, %(P) — i) solutions qui sont les puissances successives de

U(P)-î G ^ï'"' %(P) — i] où G est une racine primitive.

Pour que A soit reste de puissance me™«, c'est'à'dire pour que

X"» = A (mod P)

ait des solutions, il faut et il sujfit que

%(P) - 1 A'^l'"'^^^P)-'l=i(modP).

Ces solutions se déduisent toutes de lune d'elles en la multipliant par toutes les solutions de (3).

En particulier pour que A soit reste quadratique de P, la condition est

%(P)-i A =■ =1 (mod P)

sauf le cas de P = i, pour lequel il n'y a qu'un entier ^ o lequel est I qui est reste quadratique.

Les racines primitives peuvent se calculer directement, (n° 12) ou par la méthode de Poinsot n° 13). D'ailleurs pour les nombres premiers imaginaires P = p -h qi il est évident que toute racine primitive du nombre premier ordinaire p^ -+-q^ dans le corps G (i) est racine primitive de P dans le corps C{i).

Théorèmes de Ferrers et de Wilson. P étant un nombre premier^ si l'on considère un système complet (mod P) et quon y supprime

r élément congru à zéro, il reste %(P) - i éléments. Si Ion appelle S. la somme des produits h à h de ces éléments, on a

^ r, c o \ théorème de Ferrers

o =i\ théorème de Wilson.

La réciproque du théorème de Wilson est vraie.

Nous n'avons pas donné les démonstrations des résultats énoncés dans ce numéro. Elles sont identiques à celles des énoncés correspondants pour les entiers ordinaires.

325 — Théorème d'Euler. N étant un entier quelconque et A un entier premier à N, Centier A^^^^ - i est divisible par N. Démonstration comme au n» 16 de I.

Théorème. — Si l'on considère la suite

A étant premier à N, c< les termes de cette suite étant considérés (mod N), cette suite est périodique. Le nombre de termes de la période est le plus petit entier positif e tel que A' = i (mod N) On l'appelle l exposant de A par rapport à N. Cesl un diviseur (fe^(N)

(voir n° 17 de I). , u

Quel que soit N, l'entier i appartient à l'exposant i ; le nombre - 1 appartient à l'exposant 2, sauf si N = a ou un diviseur^de 2 ;

les nombres ± i appartiennent à l'exposant \ sauf si N 2,

± 21 auxquels cas ils appartiennent à l'exposant 2, ou si î^ -j- I ± i auquel cas ils appartiennent à l'exposant i.

326 Étude du groupe des classes d'entiers relativeinent à un nombre P «— (P = nombre premier ^i-i). La méthode de l'exercice VIII du chapitre XXIV. s'applique avec de^egeres modifications. L'ordre du groupe est [%(?)- i]%(P/ '• Ses facteurs premiers sont d'abord les facteurs premiers a, 6 ... de <^-l,(P) I, et ensuite le facteur premier p, en posant :

p = q^ -h s^ si P est un nombre premier complexe q-hsi p . p si P est un nombre réel.

On aura à considérer les congruences :

^:=:j(modP.).

ÉTUDE DU GROUPE DES CLASSES d'eMIERS, ETC. 629

La congruence X" ^ i (mod P) a a solutions car a est un diviseur de U(P) — I . Considérant alors

X" = (mod P«) (a > i).

on voit de proche en proche, suivant les différentes valeurs de a, qu'elle a aussi a racines. On en déduit que le facteur premier a entre seulement dans er.

Pour la congruence

Xp = I (mod P)

elle n'a que la solution X= i, parce que p est un diviseur de %(P)

et que la congruence x'^^^^ ^ i (mod P) n'a pas d'autre solution que la solution X ^ i.

Passons à la congruence

X^ = 1 (mod P»).

Il faut y poser X = i H- PY et déterminer Y au module P près. Il vient après réduction

pY = o (mod P).

p étant divisible par P, on voit que Y est arbitraire, donc il a Dl>(P) valeurs, donc la congruence (mod/)'') a %(P) valeurs.

On établira de proche en proche, suivant les différentes valeurs de a que

X" = 1 (mod P )

a toujours U(P) solutions pour a > i . Il faut maintenant distinguer deux cas. Si Pest complexe, on a T^(P) =^ /) et la conclusion est la même que dans l'exercice cité plus haut à savoir que le facteur p n'entre que dans e^.

Par suite r = i ; le module Pa a donc des racines primitives.

On voit d'ailleurs qu'on obtient une telle racine primitive en prenant une racine primitive, dans le corps C(i), de 'ïb(P)".

Soit maintenant P réel = p. Alors le facteur p entre dans Cr et dans er-i, donc r = 2 et il n'y a pas de racine primitive.

Déterminons dans ce cas les invariants e^ et e^. On a e^e^ = (p2 — i)p«(a-^».

On sait de plus que e, ne contient que le facteur p et & un exposant au plus égal à celui qu'il a dans e,. Donc

avec

Je dis que h = (x. — i. Pour le démontrer remarquons que e^ est le plus petit entier positif tel que pour tout entier A non divisible par p on ait

A*2 — 1^0 (mod /)«).

Or nous allons montrer que

I (mod p")

lien

résultera

<ip'-

d'on

et en comparant i

avec (4)

Pour démontrer la congruence (5) remarquons qu'elle est vraie pour a = I, d'après le théorème de Fermât. Démontrons que si elle est vraie pour la valeur a de l'exposant elle est vraie pour la valeur a + i . On a

A(p-a)fi>2-i)p«-i i ... ^ a^p'-Op»-' ^ i).

Dans le second membre le premier facteur est divisible par /)* par hypothèse, et le second est divisible par p parce que chacun de ses

termes étant une puissance de A''"' est congru à i (modp) et qu'il y a /) de ces termes.

Ainsi h = a — i et Ton a

I*' Exemple. — Soit le module (i 4- ai)'. Ici %{V) = 5 ; l'ordre du groupe est (5 — i) 5 ou ao.

L'entier a qui est racine primitive de 5^ dans le corps G(i) Test aussi de (i 4- ai)' dans le corps C(i).

a« Exemple. — Soit le module 3'. Ici %(P) = q, l'ordre du groupe est (9 — 1) 9 ou 7a. Il n'y a pas de racine primitive. L'exposant le

ÉTUDE DU GROUPE DES CLASSES d'eNTIERS, ETC. 63 1

î|)lu3 élevé est 24, c'est- à-dire que pour tout entier a -h hi non divisible par 3 on a

(a + 6i)2* — 1^0 (mod 9).

Les considérations précédentes ne s'appliquent pas au module

Pour N = ( 1 — t)^ on a '^(N) = 2 ; il y a une racine primitive qui est i. Pour N = ( i — ly on a '^Ç^) = 4 ; il y a deux racines primitives qui sont

±1, J^our N = ( 1 — ^Y = — 4 on a J/(N) = 8, il n'y a pas de racine primitive.

L'exposant le plus élevé est 4, auquel appartiennent ± j, 2 ± i. On a, pour tout entier A non divisible par \ — i.

A = i« (i -4- 21)? [mod (1 — i)*]

a étant déterminé au module 4 et |3 au module 2 près*

Pour N = (i — i)^ on (];(N) =16, l'exposant le plus élevé est encore 4 auquel appartiennent ±: i, rb 2 ± i, ± 3i. On a pour tout entier A non divisible par i — i.

A = i°' (i -\-2if 3T

« déterminé au module 4 près, ^ et y au module 2 près.

Pour N = (i — i)*" (n > 2), on a d;(N) = 2»'*~S il n'y a pas de racine primitive. L'exposant le plus élevé possible est 2"~*.

On a d'ailleurs pour tout entier A non divisible par i — i

A = i« 3f^ (2 + ly

a déterminé au module 4 près, |3 au module 2^~^ près, 7 au module 2"""* près.

Pour N = (1 — «)'"+' {ri > 2) on a 6(N) = 2^" ; il n'y a pas déracine primitive. L'exposant le plus élevé est 2"~*. On a

OL déterminé au module 4 près, |3 et y au module 2''~* près.

De ce qui précède on tire une théorie des indices avec toutes :ses conséquences comme au chap. IL

Il y a des racines primitives quand N est de l'une des trois formes

{x-i)V- (ia<4), P*. (i-OP^

Tous ces résultats se traduisent dans le langage de la théorie des^ groupes.

Les classes (mod N) d'entiers premiers à N forment un groupe d'ordre 'I(N). Ce groupe est de rang i quand N a des racines primitives. Dans le cas général on détermine une base comme pour les entiers ordinaires (n° 89).

327. Analyse diophantienne du second degré à une incon> nue. — Pour qu'un entier a -h hi soit carré parfait il faut et il suffit ; 1° que 6 soit pair ; 2° que a} -h 6^* soit carré parfait ; 3° que v/a» H- 6'

— soit aussi carré parfait.

a En effet a 4- 6i a en tout cas deux racines

f étant -h ou — i suivant que h est positif ou négatif.

Les conditions énoncées sont évidemment les conditions néces* saires et suffisantes pour que la partie réelle de cette expression» soit un entier et l'on démontrera facilement que lorsque ces conditions sont réalisées, la partie imaginaire est aussi un entier.

On déduit de ce qui précède la solution de l'équation générale AX2 4- BX -f- G = o.

328. Congruences du second degré là une inconnue. — Congruence X* ^ A (mod i — i).

Si A ^ o il y a une solution A ^o ; et si A ^ I il y a une solution A ^ i .

Congruence X» = A (mod P) (P premier ^ i — i).

Si A ^ o il y a une solution A ^ o.

Soit maintenant A ^ o. La congruence est possible et à deux solutions égales mais de signes contraires si A est reste quadratique de P (n*' 324).

Les théorèmes du n° 36 s'appliquent. De même la définition du caractère quadratique (n° 37).

Le entiers H- et — i sont restes quadratiques de tout module^ premier, car ce sont des carrés absolus, le premier de ± i^ le second de ± /.

THÉORIE DES FRACTIONS CONTINUELLES DANS LE CORPS C (l) 633"'

Théorêmb. — Les entiers ±i sont restes quadratiques : i° des nombres premiers réels de la /orme [\h — i ; 2° des nombres premiers imaginaires p -+■ qi provenant des nombres premiers réels de la Jorme 8 A -h i .

Les entiers ± i sont non restes des nombres premiers imaginaires p 4- qi provenant des nombres premiers réels p* -\- q* de la forme forme 8h -h b.

En effet, %(P) est, dans tous les cas, congru à 1 (mod 4). donc

%(P)-' (zti) ' =±1.

%(P)-i Les entiers ± i seront restes quadratiques de P si (± i) ' = i c'est-à-dire si%(P) ^ 1 (mod 8), ils ne le seront pas dans le cas contraire.

On en déduit facilement le théorème annoncé. Partant des nombres du corps C[i) on peut définir des nombres quadratiques par rapport à ceux-là, ce sont les racines d'équations^ de second degré dont les coefficients sont des entiers du corps C(/). Mais par rapport au corps C(i) ces nombres sont, en général, du quatrième degré et nous ne nous en occuperons pas. Nous n'aborderons pas non plus, pour la même raison, la théorie des formes^ quadratiques à coefficients entiers dans le corps G(f). -

329. Théorie des fractions continuelles dans le corps C(i) {^). — Soit un nombre S = 5 -i- ti. Il lui correspond un entier da corps C[i) et un seul \o = a^-h boi, défini par

— -<s — ao<- — -<<— ^o<--

Nous disons que Ao est l'entier le plus approché de S. C'est S lui-même quand S est un entier complexe. Si on représente S et Ao géométriquement, A^ est dans le carré de centre S, dont les côtés sont parallèles aux axes et égaux à i , ou bien sur le côté de droite, ou bien sur le côté d'en bas, mais jamais sur [aucun des deux autres côtés.

(*) HuRWiTZ, Act. math., 11, (1887-1888), p. 19a.

634 TilÉORlE DES MOMBRES

Si alors S n'est pas égal a Ao on pose : S = A. + ^

l'on recommence sur Sj la même opération que sur S et ainsi de suite.

On arrive ainsi à un développement en fraction continuelle

S = Ao-h

Si S est rationnel le développement est limité, on le voit comme on voit le théorème analogue pour les fractions continuelles ordinaires (n° 90) ; sinon il est illimité.

Toutes les propositions algébriques démontrées du n° 85 au no 88 sont vraies pour les fractions continuelles qui nous occupent en ce moment.

Cherchons maintenant à généraliser les propriétés des n" 89 et 90. Pour celles du n*> 90 c'est immédiat. Considérons la proposition Il du n° 89, nous allons démontrer que :

Les modules des dénominateurs des réduites successives vont en augmentant.

Mais auparavant nous allons donner des résultats, relatifs aux suites de valeurs que peuvent prendre des A„ successifs.

330. — Traçons dans le plan xoy le réseau formé par des carrés de côtés i, parallèles aux axes et ayant pour centres les affixes des entiers complexes (^). Etant donné un point S du plan on a vu plus haut que l'entier le plus rapproché de S est le centre du carré dans lequel se ^trouve S. Si S est sur un côté commun à deux carrés et vertical il faut choisir le carré qui est à droite ; si S est sur un côté commun à deux carrés et horizontal il faut <;hoisir le carré qui est au dessus ; si S est un sommet commun à •quatre carrés il faut choisir le carré qui est à droite et au dessus.

On a

Sn = ^ ^-^ — (" > o)

{') Le lecteur est prié de faire la figure.

THÉORIE DES FRACTIONS CO.NTI?«UELLES BANS LE CORPS C (l) 635

•et Sn i — A„, est dans le domaine formé par l'intérieur du carré de centre O et par le côté d'en bas et par celui de gauche à l'exclusion du sommet en bas et à droite et de celui en haut et i gauche. On en déduit facilement que le quotient complet S„ se trouve dans le domaine R déduit du précédent par la substitution

z - . Ce domaine R est constitué par la région du plan extérieure

-aux quatre cercles de rayon i et de centres : (i), (i), ( — i), ( — i), augmentée de la demi-circonférence de gauche et de celle d'en haut, à l'exclusion des points i H- i et — i — i. On en déduit d'abord qu'on a | S„ | > /a, l'égalité n'ayant lieu que pour S,, = — i -h i (Dans ce cas le développement s'arrête à S„), Ensuite on voit que A„ ne peut être aucun des entiers o, ±: i, ±: i» ru que les carrés ayant ces points comme centres n'ont aucun point commun avec R.

Nous allons démontrer maintenant qu'il y a certaines suites de valeurs qui ne peuvent pas prendre des A„ successifs. Lorsque le carré dont An est le centre a seulement des parties qui ne sont pas dans R cela peut restreindre la valeur possible de S„, par suite celle de

S„+, = ç j- et par suite celle de kn+i puisque S„+j et A^^,

sont dans le même carré. On voit ainsi qu'il y a lieu de chercher des restrictions pour A„+, lorsque A,i égale l'une des douze valeurs

± 2, zfc I ± t', ± 21, zt I ± 21.

Supposons par exemple A„ = — 2. Alors S„ est dans le cai'ré de centre — 2 et comme il est aussi dans R, il est dans la région

commune D. Alors S„+j = 0 r- = ^ est dans la région

transformée de D par la substitution z , soit E. C'est la