partie de la région R qui est à gauche de la droite x

Alors une valeur de A,-(-, n'est possible que si le carré de centre

A„^j et de rayon - a une partie commune avec E. On trouve ainsi

une infinité de valeurs de A«4-, qui sont impossibles. On refera le même raisonnement pour les onze autres valeurs de An et l'on pourra dresser le tableau des suites impossibles. Nous nous bornerons, dans le tableau suivant, à marquer celles qui nous serviront

Sont impossibles, entre autres, les suites

An+a

— a, ai, — I + i, — a + i, — i + ai

a, ai, I + i

a + i, I + ai

quelconque I + i

— a + ai

quelconque

Démontrons maintenant le théorème annoncé plus haut

I Qn I > I Qn-,-

On a Qg = I et Q, =: Al. Comme A, ne peut être aucun des entiers o, zt i, db /', on en déduit | Qi | > | Qo | • Supposons donc le théorème démontré pour la valeur n — i de l'indice et démontrons-le pour la valeur n. On a

I Qn I > I Qn-, 1 I An I - I Qn-. |

d'où

I Qn 1 > I Qn, I [An I - l].

Le théorème est donc démontré si | A„ ] > 2, c'est-à-dire dans tous les cas sauf celui où | A„ | = 2, c'est-à-dire A„ = ± I ± /.

Démontrons-le dans ces cas. Prenons par exemple An= i + i, la démonstration étant analogue dans les autres cas. Posons pour abréger

On a

(6) et

Nous voulons démontrer que | Kn j > 1 . Or on a

I Kl I = 1 A, I > I.

THÉORIE DES FRACTIONS CONTINUELLES DANS LE CORPS C [l) 687

Supposons donc le théorème établi pour K,, K,, ... K»-, et démontrons-le pour Kn.

Pour cela supposons un instant que I Kn | >> i. Nous allons montrer que ces hypothèses conduisent à une contradiction. Ecrivons l'égalité (6) pour i = n

On suppose | K„ | < i donc K„, serait dans ou sur le cercle de centre — i -h i et de rayon i. Alors écrivons l'égalité (7) pour i = n — I , nous obtenons

A„, = K„i — fT — .

Comme ~ — •< i il en résulterait que A„, serait dans le

<;ercle de centre — i -+- i et de rayon 2, donc A„i aurait l'une ■des neuf valeurs :

o, — 1, i, — a, — I 4-1, — 2 4- i, ai, — i 4- aï, — a 4- ai.

Se rappelant que A„ = i 4- i et se reportant au tableau on voit <iue A„, = — 2 4- 2i.

Appliquons alors la relation (6) pour i = n — i

I^n-» = K„, -h a - ai

%-n~i est dans ou sur le cercle de centre — i 4- i et de rayon i . On en déduit que Kn 2 est dans ou sur le cercle de centre i 4- / et 4e rayon i.

Appliquons la relation (7) pour i= n — 2

An— o = •'»•«— a -"■ ÏT

d'où l'on voit comme plus haut que A„, est dans le cercle de •centre i 4- i et de rayon 2, d'où A„j aurait une des neuf valeurs

a, I, a 4- i, o, 1 4- i, i, 2 4- ai, i 4- ai, ai.

Se rappelant que A„ = i 4- i et A„, = — 2 4- ai et se reportant au tableau on voit que

A„j = a 4- ai.

TUSOniE DES IVOMBRCS

Continuant ce raisonnement on voit que l'on aurait

A„2A, = — 2 -+- ai A„2/, = 2 -h ai (/i = o, i, ...)

et par suite, en supposant n impair pour fixer les idées

Il est facile de calculer les réduites successives de ce développement.

On trouve, en appelant ^ la réduite dordre i :

P'iii = (-i)'(n-i) ^ [{^ -h i)V + (v^à - 1)2'-] Q',, = ( ,)< (/âH-i)''^+^-h(v/â-i)^'+*

P'„. = ( i)i (v/^H-irH-(v/^-ir

Q'«, = (- i)'(i - i) ^ [(v^â + i)^^ - (/a - i)«] c'est-à-dire, pour toute valeur de A-

Donc

quantité évidemment plus grande que i , ce qui contredit la supposition I K„ j < I. Le théorème est donc démontré {^).

Si on applique le procédé du commencement du n'' 329 à un nombre S non rationnel, on obtient un développement illimité.

(*) Le développement i + j 4. 1 ^

^ — a + ai + I a + li +

indéfiniment est le développement de ' '.

prolongé

ÉQUATION X* -t- Y* -h Z* = O DANS LE CORPS C (l) 63^

Ce développement est convergent et sa limite est S. — En effet on a pour toute valeur de n

c "nPn ~^ "n— 1

Q„Sn-i-Q„/

Donc

Or 1 S„ I > v^ et 1 Q„. | < | Q,. | . Donc

1 QnSn 4- Qn-t | > (^/^ - l) [ Qn | ■

Donc

~^n ^(/^- 1)1 Qui»* p

Or I Qn I croît indéfiniment, donc ^ tend vers S.