Equation X^ + Y

C'est l'analogue de l'équation x^ -h y^ = z* du n° 307. Mai& pour obtenir une forme plus symétrique nous remplaçons Z par iZ et écrivons l'équation X^ + Y^ h- Z^ = o.

On voit d'abord que sur les trois valears de X, Y, Z il en faut zéro ou deux qui ne soient pas divisibles par i — î et, en écartant les solutions non primitives c'est le second cas qui se présente. Soit donc X divisible par i — i et Y, Z, non divisibles.

L'équation s'écrit

(X-+- Yf)(X~YO = — Z».

Or X -f- Yi et X — Yi sont premiers entre eux car un facteur premier commun diviserait 2X et 21Y et ne pourrait être que I — i lequel ne divise pas Z. On a donc : X + Yi = sT^

X — Yi = — i U2

£ étant une unité, T et U étant des entiers non divisibles par i — r et premiers entre eux. D'où

X = i (sT» — i- U») = - fl» — f-V'

On peut pour simplifier l'écriture remplacer - par U. Ensuite

on peut supposer que ê = i ou i, car si £ = — i ou — i on n'a qu'à remplacer T et U par /T et lU.

Finalement les solutions primitives sont données par

(a = 0, i) T et U n'étant pas divisibles par i — i et étant premiers entre eux.

332. — Impossibilité de l'équation X^ + Y^ = Z». Lemme. — Si A est un entier non divisible par i — i on a

(mod 4)

si A ^ I (mod a)

I (mod II)

si A ^ i (mod 2)

(mod 8)

dans tous les cas.

Car si A = 2H -f- I on a A* = 4(H« -h H) 4- I et A* = 8[a(H2 ^ H)a | H" -}- H] + i

si A = 2H -f- i on a

A» = 4(H2 H- ÏH) — 1 et A* = 8[a(H'' -+- iH)* — H^ — iH] 4- 1

Revenons à X* + Y* = Z^ On peut se borner aux solutions primitives (même démonstration qu'au n° 309). Alors les valeurs des trois inconnues ne sont pas toutes divisibles par i — i. Il est impossible aussi qu'aucune d'elles ne soit divisible par i — i, car en transformant l'équation en congruence (mod 2) il viendrait

2 ^ 1 (mod 2).

Enfin il est évidemment impossible que deux des valeurs des inconnues soient divisibles par i — i et que la troisième ne le soit pas. Il y en a donc une et une seule qui est divisible par i — i. Ce ne peut être Z. Car supposons pour un instant Z = (i — i)*Z' avec Z' ^ 0 (mod I — i).

En transformant l'équation en congruence (mod 8) il vient

2 = (i ~ i)*«Z'« (mod 8), -ou

a =: 2«(— i)«Z'2 (mod 8).

IMPOSSIBILITÉ DE l'ÉQUATION X* -h Y* = Z* 64 1

OU -

I = a^-» (— i)a (mod 4).

Ceci exige d'abord que a = i , puis

I = — iZ'2 (mod 4) d'où

1 ^ ±: i (mod 4) ce qui n'est pas.

Ainsi l'un des nombres X ou Y est divisible par i — /. Supposons que ce soit X, posons X = (i — j)"X', puis changeons de notation, mettons X à la place de X' ; il viendrait l'équation

aucun des nombres X, Y, Z n'étant divisible par i — i. Nous allons traiter l'équation plus générale

s étant ± I ou d= i.

Je dis d'abord que Z ^ i (mod 2). En effet, dans le cas contraire, on aurait Z^i (mod 2) et l'équation (8) tranformée en congruence (mod 4) donnerait

0 ^ — I — 1 (mod 4) ce qui n'est pas.

Je dis maintenant que n > i. En effet soit Z = 2T -4- i. Alors

L'un des deux entiers T ou T + i est divisible par i — /. Donc

Z2= 1 (mod(i — i)5).

Quant à Y* il est congru à i (mod 8). On voit ainsi que le second membre de l'équation (8) est divisible par (i — îf. Donc le premier aussi et, par suite, n >• i.

Maintenant l'équation s'écrit :

Caheh. r— Théorie des nombres, t. II. Ui

64^ TUÉOBIB DES NOMiBBESr

Le plus grand commun diviseur de Z — Y* et Z + Y^ divise 2Z et 2 Y'' ce ne peut être que i — t ou 2. En fait puisque Z et Y^ sont congrus à i (mod 2) on voit que ce plus grand commun diviseur est 2. L'équation (g) donne alors, soif :

j z -t- Y2 = Ta22«-»V*

soit :

jz-h Y*r=•ri.,a..U♦' >7 ef 771 étant des unités. Mais ïe second système se déduisant du premier par fe changement de Y en /Y on peut se borner au premier. Il donne :

Transformée en congruence (mod 4) cette équation donne :

Donc on a : soit (10) 7i,aa"->¥* = Y^ — U*.

soit

Mais la, secontie équation se déduit de la première par le changement de yji en — yjj et de Y en iY. On peot donc se borner à la première (10).

Or cette équation (10) est de même forme que la proposée mais n est remplacé par n — i . En continuant de la même façon on arriverait donc à une équation toujours de même forme mais où n serait égal à i. Or nous avons vu que c'est impossible.

Remarque. — Ce résultat contient celui du n° 309 comme cas particulier puisque le corps C[i) contient le corps G(r).

NOTES ET EXERQCES

l. — Si un entier réel est divisible par ua entier conaplexe a -+■ bi n'ayant pas de diviseur réel autre que dz i , il est aussi divisible par a2 -+- b\

II. — Pour un entier réel a on a un système complet (mod a) par ^les entiers x H- ji ou x, j = o, i, ... j a | — i.

Pour un entier complexe a -f- hi sans facteur réel autre que ± i , on a un système complet (mod a h- hi) par les entiers

III. — Soit P un nombre premier du corps G(i), dans le développement de (x H- y) ^\") tous les coefficients sauf ceux de x^^v) et dey^*'^ ) sont divisibles par P.

En déduire une démonstration du théorème de Fermai (cf. n° 2).

IV. — Chercher les généralisations possibles, pour les entiers complexes, des notes et exercices des chapitres I et II.