CHAPITRE XXVII

ARITHMÉTIQUE DANS LE CORPS C(tV3)(*)

333 -Il semblerait maintenanl naturel d'étudier les nombres a, -t- YiV3 (X, y entiers) par analogie avec les entiers x + yi du cbapL précédent. On établirait facilement les résultats analogues à ceux des n- 313 et 314, mais la théorie de la division (n 315) ne s'appliquerait plus. Car en cherchant à la répéter on serait amené à la question suivante : Étant donnés les nombres rationnels p et q, déterminer les entiers x, y, tels que

Mais cela n'est pas toujours possible car si p = m -4- - et

q = n-i-'-{m,n, entiers), la plus petite valeur possible de

s'obtient pour . = m y = . et elle est égale à - On ne peut donc poursuivre dans le même sens et on ne peut établir de cette façon une théorie analogue à celle des nombres premiers.

D'ailleurs il est visible qu'une telle théorie ne peut être établie d'aucune façon parce que, si elle pouvait l'être, on en déduirait la théorie du plus grand commun diviseur et celle des nombres premiers, et par suite les nombres x + yi ^3 obéiraient aux mêmes lois de divisibilité que les entiers ordinaires ou ceux du corps L{i). Or cela n'est pas comme on le voit sur l'exemple suivant.

(!) Jacobi. Ges. Werke, t. VI, p. 233 et 275.