ARITHMÉTIQUE DA>S LE CORPS C (J

On a

(i -f-iV3) (i — iv/3) = a.2.

Or on s'assure par tâtonnements, que chacun des facteurs (i + i/3), 1 — iV3, 2,

n'est divisible que par lui-même ou par une unité, ces dernières étant ±1. On a ainsi deux produits formés de facteurs qui devraient être appelés premiers, ces deux produits étant égaux sans ■que les facteurs de l'un soient associés de ceux de l'autre.

Renonçant, pour le moment à étudier cet ensemble de nombres (*) •nous allons étudier l'ensemble des nombres

où X et y sont des entiers ordinaires. Cet ensemble comprend le ^précédent, car x -+- yi\/3 = (x -h j) -+- ay i -h iv ^ gj ^j^^^g ^^

nouvel ensemble nous trouverons une théorie absolument analogue à celle des entiers ordinaires, ou à celle des entiers du corps C(i).

Ces nombres x -\- y ^ ~l~ 'v apprrtient au corps C(iV3) et

nous les appellerons les nombres entiers de ce corps.

On peut encore les définir de la façon suivante : Un nombre -entier du corps C(iV3) est un nombre appartenant à ce corps et qui satisfait à une équation du second degré à coejjîcients entiers ^ont le premier coefficient est i.

En efiFet soit l'entier X = x -\- 'y ^ ^^ . Il satisfait à

l'équation

X^ — (ax — y)\ -h x^ — xy -\- y^ = o

•qui est bien de la forme indiquée.

Réciproquement soit une équation de la forme indiquée

Les racines sont P ^P ^^ . Pour que l'une d'elles appar-

<(') Nous le ferons plus loin (Cbap. XXXI).

tienne au corps C(i v^) (et alors l'autre y appartient aussi) il faut et suffit que

(m entier) ; alors ces racines sont

p -I- eim \/5 tm — ».

-^ ou -htm

Mais p et m sont de même parité, à cause de (i), donc ces racines sont bien de la forme x -h y ^ "^ ' v , .

En développant la théorie de ces entiers nous verrons qu'ils sont en rapport avec celle des formes quadratiques de déterminant — 3, de même que les entiers du corps G(t) sont en rapport avec les formes quadratiques de déterminant — 4.

Nous désignerons dans ce qui va suivre l'entier — — paij

et par conséquent les entiers du corps G(zV3) par x -hyj' D'ailleurs le corps C(iV3) est identique au corps C{J).

Le nombre conjugué de j est j = ^ . Les nombres jf »

et y sont les raciiws de l'équation X* -i- X -+- i = o. Remarquons les relations

j + J = — 1 jj = 1 P =J ? =j /' =T = 1-

Le conjugué de a; + yj est x -h yj ,

La norme d'un nombre x + yj est par définition

%{x -+- yj) = (x -+- yj) {x -+- yj) =x^ — xy -ty^.

Les résultats des n°' 312 et 313 s'appliquent.

334. — Pour voir que l'algorithme de la division s'applique oa^ est ramené à démontrer qu'étant donné un nombre p -+- qjy (p, 9, réels quelconque) on peut toujours déterminer un nombre* entier x + yj tel que

%(p H- qj — (a: + yj)) < i ou

(p xf — {p — x) {q — y) ^ {q — y)'i < l.

DIVIMOÎÏ BANS LE CORPS C (J) Shj

Or cette inégalité pent s'écrire

On choisira d'abord y par la condition

puis X par la condition

Alors le premier membre de rinégalité sera au plus égal à

T + YTj , quantité plus petite que i .

Le résultat- précédent peut s'obtenir par une représentation géométrique.

Le nombre j = ^ + v ggj représenté par le point de coordonnées ^^ , — dans tm système d'axes rectangulaires Ox, Oy,

et les entiers x -f- yj par les sommets du réseau construit sur les points o, ijj.

On peut encore dire : considérons un sjslème d'axes xoy' ou

xÔy' = ^ . Le point x -f- yj est représenté dans ce système par le

point de coordonnées x, y.

Si un nombre a comme affixe tm point M, sa norme e^ égale à

Si deux nombres ont<x)mme affixes M et M', la «orme de leur

difîerence est égale à MM .

Le problème posé plus haut revient alors, étant donné un point M du plan à trouver uu sommet de réseau qui en soit distaol de moins de i .

Or, si l'on /trace de chaque sommet de réseau comme ceab*e un cercle die rayon i , on voit que iont pcànît du plan se trouve au moins dans trois de cercles.

335. Uiiftés. Nombres asBOciés. — La définition des unités est la même ^'an oP 314. Pour qu'un nomin-e soit ime nnité il

6i48 THÉORIE DES NOMBRES

faut et il suffit qu'il divise i. Pour qu'un nombre soit une unité il faut et il suffit que sa norme soit i. Pour trouver les unités x-{-yj il faut donc résoudre l'équation :

£lle s'écrit :

(ax — yf H- Zy^ = 4-

Elle a comme solutions :

iC=±l X ^= 0 x = \ X = o X =s — 1 7= o y = i y=i y = — i'y = — 1

d'où les six unités

±1, ±/. ±(i+y) ou encore

ou encore

On remarquera que ce sont les puissances successives de — /. Car

(- /T = -h i-jr =j'' (-jt =-!.(- ;y =y

On dit que deux nombres sont associés lorsque leur rapport est une unité. ,0n voit alors que tout entier a 4- 6/ a 6 associés qui sont :

a-hbj, — a — bj, — b-+-(a — b)j, b — (a — b)j, b — a — u/,

Deux nombres associés ont les mêmes diviseurs et les mêmes multiples.

336. Représentation géométrique des multiples d'un nombre a + bj. — Soit A l'affîxe de a -f- bj ; celle de j{a H- bj)

s'obtient en faisant tourner A de -^ autour de 0, soit A'. Alors

les affixes des nombres (rc 4- yj) (a H- bj) sont les sommets du réseau construit sur le parallélogramme dont 0, A, A' sont trois