PLDS GRAND COMMUN DIVISEUR

sommets. Ce réseau reste identique à lui-même quand on le fait tourner de o, 0, T* ^' T' 'T ^lutour de 0.

^ 337. Plus grand commun diviseur. — Théorie identique à celle développée pour les entiers ordinaires et pour ceux du corps

Il y a 6 entiers, associés entre eux, qui peuvent jouer le rôle de plus grand commun diviseur d'entiers donnés. On choisira celui qui est dans le domaine A limité par les deux demi-droites D et

D' faisant avec Ox des angles -+- g et — g , la première exclue, la

seconde incluse.

Les nombres de ce domaine A sont deux à deux imaginaires conjugués sauf ceux qui sont sur la demi-droite D'. Ces derniers sont de la forme a — aj.

On trouve facilement les conditions pour que a ■+- bj appartienne au domaine A, à savoir :

aa — 6 > o

Tout ce qu'on a dit aux n°' 315 et 316 s'applique encore ici.

338. Ensemble complet, mod a 4- bj. — Même définition qu'au n° 313.

On est amené aux conditions "

(a — b)x -\-by^(a — b)x' ■+■ bv' { , , „ ox — ay ^ ox — ay (.

ga ^ q6 4- 6^

Le nombre d'éléments d'un système complet, mod a -+- bj est

donc

gz a6 -I- b^yi

g" — qfe H- 6^)'

65» TtfÉOitlE »ES >OMBRBS

c'est-à-dire égai à %{a -f- bj).

On jpeut retrouver ce résultat par la représentation géométrique^ Si l'on construit un parallélogramnie équipollent à celui du n" 336 et dont aucun côté ne passe par un point du réseau, quelconque d'ailleurfi, les points à l'intérieur de ce parallélogramme sont les affixes d'un système complet (mod a -+■ bj). Leur nombre est égal à la surface de ce parallélogramme évaluée en prenant comme unité le parallélogramme élémentaire du réseau, c'est a^ —ah-h 6'.

Les résultats des n°^ 318 et 319 s'appliquent sans modifications.

339. Nombres premiers absolus. — On appelle nombre premier dans le corps G(j) un entier qui ap}>artient au domaine A, et qui n'a d'autre diviseur appartenant à ce domaine que lui-même et le nombre i. Il en résulte qu'il n'a d'autres diviseurs que luimême, ses associés, et les unités.

Réciproquement, tout entier du corps C{j) qui n'est divisiblequepar lui-même, ses associés et les unités, est premier s'il appartient au domaine A, associé d'un nombre premier s'il n'aj^artient pas au domaine A.

Tout entier du corps C{j) est décomposahle^ et cda d'âne seulemanière en un produit de la forme

P, Q, H, ... étant des faciews premiers. a, |S, ... étant des exposants positifs. X étant égal à o, i , 2, 3, 4 ou 5.

340. Les nombres premiers du corps CO) déduits des nombres premiers ordinaires. — Nous allons chercher successivement les nombres premiers du corps 'G(j) :

1° Qui sont réels ; 2° qui sont sur OD' ; 3° qui ne sont ni réels ni sur OD'.

1° Nombres premiers réels du corps C{j). Il ne sont à chercher que dans les nombres première du corps C(i).

Théorème. — Les nombres premiers dans le corps G (i) qui sont

LES NOMBRES PREJllERS DU CORPS C (/) 65 F

représeniables par la forme a* — a6* -+■ b^ ne sont pas premiers dans le corps C (i). Réciproquement les nombres premiers dans le corps C(i) qui ne sont pas premiers dans le corps C(j) sont représentables par la Jorme a^ — ab -h b. Soit :

p = a^ — ab -h 6^ d'où p = (a -h bj) (a + 6/).

Aucun des deux facteurs a -\- bj, a -h bj-, n'est une unité ni un associé de p, puisque leur norme est p. Donc p n'est pas premier.

Réciproquement, supposons que p ne soit pas premier dans le corps G{j). Il aura un facteur qui ne sera ni lui-même, ni un de ses associés, ni une unité, et qui sera nécessairement imaginaire ; soit a -h bj. Alors

p = (a-h bj)(c -h ij).

Le facteur c -\- dj sera lui-même différent de p, de ses associés et des unités.

Prenant les normes des deux membres de l'ég^allté, il vient :

p2 = (a« — a6 -4- 6») (c* — cd -h rf^).

Aucun des facteurs du second membre n'est égal à i, cette égalité exige donc que

p z= a2 — a6 -f- 6=* = c2 — cci -f- d^.

2° Nombres premiers qui sont sur OD'. Les entiers qui sont sur OD' sont de la forme a — aj. Le seul qui puisse être premier est I — j. Il l'est efflectivement car sa norme est 3, il ne peut donc être divisible que par des entiers de norme i ou 3, c'est-à-dire par les unités, ou par les nombres

Or, ces derniers sont les associés de i — j.

3° Nombres premiers qui ne sont ni réels ni sur OD'. Soit a -f- bj un tel nombre.

On voit d'abord que a — bj est premier aussi, ensuite que a* — a6 -h 6^ est premier dans le corps C (i) de sorte que : si un entier a -+■ bj est premier dans le corps C{j)^ sa norme est un nombre premier dans le corps C ( i ) et représentabœ par la Jormer a^ — ab -h h\

Réciproquement soit p un nombre premier dans le corps C(i) €t représentable par la forme a* — ab -\- b^. Alors a -+■ bj est premier.

Résumé. — Les nombres premiers du corps C{j) sont :

1° Les nombres premiers ordinaires qui ne sont pas représeniables par lajorme a^ — ab -+- b* ;

2° Le nombre i — j ;

3" Les nombres a -h bj appartenant au domaine A et dans lesquels a' — ab -h b^ est un nombre premier ordinaire. Ces derniers sont conjugués deux à deux.

341. — Reste à déterminer les nombres premiers ordinaires qui sont de la forme a^ — ab -\- b^. On a vu au n° 206 que à part 2 et 3 ce sont ceux de la forme 6/i -t- i. Un tel nombre a six représentations, l'une d'elles étant a* — ab + 6* les autres sont :

feï 6 (6 — a) -f- (6 — a)» "^

(6 a)« ~ {6 — a){— a) -+- (— a)' (-a)«-(-a)(-6) + (-6)=' (~ by — (— b){a — 6) + (a — by (a — by — [a—b)a-\- a*

d'où les six entiers

■a-\-bj, 6 + (6 — a)j, b — a — aj, — a — bj, — 6 -H (a — b]j, a — b-\~o.j

•qui sont associés.

Mais deux seulement de ces entiers appartiennent au domaine A ; ils sont conjugués.

Ainsi

7 = 3^ — 3.1 -+- 1* donne 3 -t- / et 3 -+- j.

19 = 5^ — 5.2 + 2^ donne 5 H- aJ et 5 -H 2J, etc.

Quant à 3, il n'est pas premier, car 3 = (i — j) (i — j) ;

2 est premier, car il ne peut se mettre sous la forme a^ — ab-+-b^.

D'ailleurs les résultats précédents peuvent se démontrer sans faire appel à la théorie des formes quadratiques, de la façon suivante :

1" Un nombre premier ordinaire de lajorme 6h — 1 n*est pas représentable par la Jorme a^ — ab -h b^.

THÉORÈME DE FERMAT ET d'eULER 655

Car l'égalité p = a^ — ab -^ b^ transformée en congruence (mod 3) est alors impossible.

2" Le nombre premier 3 est représentable par la forme a- — ab-\- 6*.

Car3 = i^—i(—i) -+-(—!»).

3° Un nombre premier ordinaire de la forme 6A -f- i est représentable par la forme a* — ab -+- b^.

Soit jP un tel nombre. La congruence

xP~* ^ I (modp)

admet les p — i solutions x= i, 2, ... p — i , et de plus la solution IX =j car 0)^~* = {jy^ = I. Donc p n'est pas premier, etc.

342. Indicateur. — La définition est la même qu'au n* 323. Le résultat est le même. L'indicateur d'un entier N est