Analyse diophantieime du second degré à une inconnue

— Quels que soient les nombres réels a et 6, a 4- bj a deux racines carrées qui sont : x ■+■ yj, y étant l'une des deux valeurs

"^ et X étant égal à -^

On peut donc facilement reconnaître si un entier a ■+- bj est

carré parfait.

On en déduit la solution de l'équation la plus générale du second

degré.

345. Gongruences du 2^ degré à iine inconnue. — Congruence X^ ^ A (mod 2). 11 y a quatre restes possibles (mod 2), à savoir o, 1 , j, i + j qui élevés au carré donnent respectivement (mod 2), o, I, I -hj,j.

Donc la congruence X^ ^ A. (mod 2) a toujours une solution et une seule.

Congruence X^ ^ A [mod P) (P premier pf 2). Si A ^ o il y a une solution X ^ 0. Si A ^ o il y a deux solutions, égales mais de signes contraires si A est reste quadratique de P. Les théorèmes du n<» 36 et la définition du caractère quadratique s'appliquent.

Les unités i,j, — i — j sont restes quadratiques de tout module premier car ce sont des carrés parfaits.

346. Théorie des fractions continuelles dans le corps C(y}(>). — Considérons les hexagones réguliers ayant pour centres les

affîxés des entiers du corps C(jf), pour rayon -^ et ayant deux

côtés parallèles à Ox. Nous conviendrons que si l'on divise le contour d'un de ces hexagones par une parallèle à Oy passant par son centre, il n'y a que la partie de gauche du contour, non compris le point le plus haut, qui fasse partie de l'hexagone. Les hexagones ainsi formés recouvrent tout le plan, sans lacunes, et une seule fois, c'est-à-dire que tout point du plan se trouve dans un de ces hexagones et dans ^n seul.

Ceci posp nous définirons l'entier a -^ bj h plus approché d'un

(^) HuRwiTz, Acl. mat., 11 (1887-1888) p. 197.