ÉQUAT10^ X* + Y* = Z^ DANS LE CORPS C

nombre quelconque s -+■ tj en disant que c'est le centre de l'hexagone dans lequel se trouve s -\- tj.

On définit alors le développement en fraction continuelle absolument comme pour le cocpa G(i). La quantité S„i — A„i est dans l'hexagone H^ d'où l'on déduit que la quantité

g __ — gg^. (jjijjg jjj T^^(gja^ R extérieure aux six ceccles

de rayon i ayant pour centres les affixes des six unités (ou sur une partie du contour de R facile à préciser). On en déduit |S„ I > v/3.

Il y a certaines suites de valeurs que ne peuvent pas prendre les A„, en particulier si A„ est égal à — 2 ou à îy ou à — i -+-7> An+i ne peut être égal à 2 -+- j. On démontre alors comme au n" 330 que les dénominateurs des réduites vont en croissant, etc.

347. Equation X^ -j- Y»^ = Z» dcms le cofrps C{j). — Nous allons montrer que cette équation n'a pas d'autres solutions que celles où l'une des trois inconnues a la valeur zéro. Ce sera une généralisation du résultat du n" 310,

Nous donnons à l'équation la forme plus symétrique

en remplaçant Z. par — Z.

Lemme 1. — Quand un entier A n'est pas divisible par i — j, tan des trois entiers A, Aj, A./ est tel que le coefficient de j soit divisible par 3.

Soit :

Alors

A = a + bj.

Aj = — b -i- (a — by Aj =—a-hb — ai.

Si dans aucun de ces trois entiers le coefficient de J n'était divisible par 3, on aiurait

a ^ e, b ^ — e (mod 3)

£ étant + ou — 1 . Alors a -+- bj serait, divisible par 1 — /.

Lemme IL — Le cube de tout entier du corps C(jf) est congru (mod 3) à un entier réel.

En effet ,

(a H- 6/)» = a» 4- 6» (mod 3). Â

Lemme IIL — Quand un entier du corps C{j) est congru [mod I — j) àe (e = ± i), son cube est congru (mod{i — jY) à e. Soit :

A = e-hB(i-y).

On a

A» = e + (1 — /)» [ — y»B — ef B^i — /) -h B'].

Ces lemmes étant démontrés,

I* Si r égalité X' 4- Y' H- Z' = o est satisfaite, l'un des trois entiers X, Y, Z est divisible par i — j.

En effet, comme o, -h i et — i forment un système complet (mod I — j), si aucun des trois entiers X, Y, Z n'était divisible par I — y on aurait

X = e Y = t' Z = e"(modi— j)

£, e' e" étant égaux à ± i. Alors d'après le lemme III on aurait : e -h e' H- e" = o (mod (i — j)»).

Or £ + e' -f- s" ne peut être égal qu'à ± i , ± 3 et la congruence n'est pas vérifiée.

2" Soit donc Z celui des trois entiers X, Y, Z qui est divisible par I — /.

Alors au lieu de Z, écrivons (i — y)'"Z (m > o), l'équation devient :

Nous discuterons l'équation plus générale

e étant une unité. '

X et Y ne sont pas divisible par i — j. On peut d'ailleur, sans changer l'équation remplacer X par Xj ou Xj , et Y par Yy ou Yjf on peut donc, d'après le lemme I supposer que dans X et Y le cœffi* cient de jf soit divisible par 3.

ÉQDATION X' 4- y' = T? DANS LE CORPS C {j) 607

L'équation (3). s'écrit <4) (X + Y) (X H- Yy) (X + Y/) = e(i - j)3'"Z3

3° Chaque facteur du premier membre est divisible par i — j, -de plus les deux derniers ne sont pas divisibles par (i — jy c'est-àdire par 3.

En effet le facteur premier i — j entrant dans le produit (X H- Yj (X 4- Yy) (X -4- Yj ) entre au moins dans un des facteurs.

Mais comme la différence de deux quelconques de ces facteurs «st divisible par i — J, il en résulte que i — j entre dans chacun •d'eux.

De plus X -f- YJ et X -h Y/ ne sont pas divisibles par 3. En effet, dans X et Y le coefficient de / est divisible par 3, c'est-à-dire que

X = a H- 36/ Y = c -^ Mj.

Donc

X H- Yy = a -+- çy- -f- 3 {b-hdj)j.

Si X -f- Yy était divisible par 3 ; a -h cy le serait aussi, c'est-àdire que a et c le seraient, donc aussi X et Y^ ce qui n'est pas. La démonstration est la même pour X -f- Yy . 4° L'exposant m est plus grand que i . En effet

■étant divisible par i — j c'est que a -¥• c l'est. Comme a -h c est réel il est donc divisible par 3. Donc X -f- Y est divisible par 3. Donc le premier membre de l'équation (4) contient au moins 4 fois le facteur i — j. Donc m > i (sauf si l'une des inconnues est nulle) .

Nous poserons donc :

(5) X-t-Yy =:(i-j)e"H'

(x + Yy = (i — yv'K»

«', e"f e"' étant des unités, W, H, K étant des entiers non divisibles par I —y.

Cahbm. — . Théorie des nombres, t. II. 4>

De plus W, H, K n'ont pas de facteur premier commun, car un tel facteur diviserait X -i- Y, X -h Y/, donc aussi X(i —7) et Y(i — j), ce qui est impossible puisque ce facteur n'est pas (i — j)et que X et Y sont premiers entre «ux.

Eliminant X et Y entre les équations (5) il vient :

H» -h ^ jK3 = ~ ^j\x - jy— »w»

ou

«1, e\ étant encore des unités, m étant plus grand que i.

Transformée en congruence (mod 3) cette égalité donne, d'après le lemme III

et alors l'équation (6) s'écrit, en changeant s'il le faut K en — K :

H' H- K» = ei'(i — j)='(»'-')W»

équation de même forme que (3), mais où Texposant m a diminué d'une unité. En recommençant les raisonnements précédents sur cette équation on arrive à une équation de même forme oîi m = i. Alors l'une des inconnues est forcément nulle et, en remontant la suite des transformations, on voit qu'il en est de même de l'une des inconnues X, Y, Z.

On remarquera que, non seulement ce résultat est plus général que celui du n* 3 10, mais que sa démonstration est plus simple.