CHAPITRE XXVîII
THÉOKIE GÉiqÉRALE DES CORPS QUADRATIQUES ENTIERS. UNITÉS
348. — Les nombres quadratiques ont été déûnis an Chapitre V.
Ce sont les nombres p -h q \^in {p, q, rationnels, m entier non carré). L'ensemble de ceux de ces nombres dans lequel m est le même s'appelle le corps C(y/m). Toute combinaison rationnelle de nombres du corps C(v^m) appartient à ce corps.
Aux chapitres XXV, XXVI et XXVII, n.ous avons étudié au point de vue arithmétique deux corps quadratiques particuliers, les corps C(\/ — i) et C(v/ — 3). Nous avons montré l'analogie qu'il y a entre l'arithmétique de ces corps et celle du corps des nombres rationnels ordinaires C(i). Nous avons aussi montré les rapports qu'il y a entre la théorie arithmétique du corps C(/ — i) et celle des formes quadratiques de déterminant — 4, entre la théorie arithmétique du corps C(v/ — 3) et celle des formes quadratiques de déterminant — 3.
Ce sont ces analogies et ces rapports que nous allons maintenant développer dans l'arithmétique des corps quadratiques en généra!.
On distingue les corps quadratiques réels correspondant au cas de m >• G, et les corps quadratiques imaginaires correspondant au cas de m < o.
On supposera toujours que m n'a pas de facteur carré. Si en effet on avait m = m'm"*, le corps C{^m) se confondrait avec le corps C(v''/ï7).
Les quatre opérations rationnelles sur les nombres du corps
^gjj THÉORIE DES NOMBRES
C(v/^) sont définis par les égalités
ip + q^) (P' + 9Vm) =PP' + '"97' -+- (P7' +P9) V^"» p-f-^/m pp'-mqq' __ PqL^^P^Jm.
Les nombres p + 9 v/m et p-g^/m sont dits conjugués. ^ La nom. du nombre p -+- 7Vm est le nombre p - m^ . cest le produit de p + 7 V^- P^^ ««" ^^"J"»"^' ^""' ^' désignerons nar %(P + Wm). Deux nombres conjugués ont la même norme. L norme d'un nombre est toujours réelle. Elle est évidemment nulle si le nombre est nul (c'est-à-dire si p et 7 sont nuls). Réciproquement : si' la norme d'un nombre est nulle, ce nombre est nul. En effet c'est évident si m < o. C'est encore vrai si m > o, car l'égalité p* - m?' = o si p etp n'étaient pas tous les deux nuls donnerait m = ^„ ce qui est impossible puisque m n'est pas carré
^^lins le cas de corps imaginaires, la norme d'un nombre ne peut être négative. On voit immédiatement que ; La norme d un produit de facteurs est égal au produit des normes des facteurs.
La norme du rapport de deux nombres est égale au rapport des normes de ces deux nombres.
348 Nombres entiers du corps G (v/T.) . Bases.- Un nombre quadratique entier est an nombre satisfaisant à une équation du second degré à coefficients entiers et dont le premier coefficient est I e). Pour justifier cette définition il faut remarquer que l'équation du second degré à coefficients rationnels à laquelle satisfait un nombre quadratique l±A^\a, b, c, entiers sans facteur commun) est complètement déterminée si l'on astreint son premier coefficient à être égal à l'unité.
Il) On serait d'abord tenté d'appeler entiers du corps C{^) les nombres ^ + yy/m (X, y, entiers). On a vu (n» 333) comment on a été amené à choisir une autre définition.
En effet
ENTIERS DU CORPS C (y/m) 66 1
satisfait à
(i) x^ XH i =0
et toute autre équation du second degré à coefficients rationnels et
ayant comme premier coefficient i et à laquelle satisferait
doit être identique à celle-là puisqu'elle a les deux mêmes racines,
à savoir ^ et le nombre conjugué.
Cherchons les entiers du corps C(/m). Pour cela écrivons que l'équation (i) a ses coefficients entiers, c'est-à-dire
(a) aa ^ o (mod c)
(3) a^ — m6« = o (mod c").
L'équation (2) donne d'abord
a = — (X entier).
Elle donne aussi :
[\a} ^ 0 (mod c*).
Donc, par comparaison avec l'équation (3) :
[\mb* ^ o (mod c^).
Or m n'est divisible par aucun carré. Il faut donc que
46* ^ o (mod c^) d'où
26 ^ o (mod c.
On a donc
h = — (fi entier).
Donc tout entier du corps C(v/m) est de la forme
(4) q-t-fcy/m^X+txv/m" (x. [., entiers).
Voyons si, réciproquement, un nombre de cette forme est entier. Le nombre x = "^ ^ satisfait à l'équation
X* — ma* ic* — Xx H r— ^ = O.
Il sera donc entier si (4) X2 — TOfji* ^ o (mod 4)-
Il faut ak)C3 diabinguâr troi» cas 1.0 m. ^ I. (mod 4).
La condition (4) s'écrit
