V- = fx* (mod

c'est-à-dire que )e «< ^ dmwfii être de même parité. 2° m^2 (mod 4)>

La condition (4) s'écrit

X* ^ 2!Jt* (mod 4)

d'où l'on tire que X et ^x doivent être pairs. \

3° m ^ 3 (mod 4)

La condition (4) s'écrit

X2 -f- p.2 = o (mod 4)

d'où l'on tire encore que X et fx doivent être pairs (*).

Conclusion. — Si m ^ 2 ou 3 (mod 4). X et |Ji dans l'expression (4) doivent être pairs^^ - en remplaçawl X par 205 et fx par 2y, on a la forme générale des entiers du corps G (/m) qui est

33 H- jVm {x, y entiers).

Si m ^ I (mod 4) X et |U(, doivent être de même parité on peut donc poser ju, = y X = 2a: — y et la forme générale des entiers du corps C(v/m) est

(nx — y) + y i/m

^ ^ — ■ — si— îL^, ott a; -h y

(*) Le cas de m ^ a (mod 4) est écarté paisqœ m n'est divisible par aucun carré.

ENTIERS DU CORPS C (/m) 663

On peut résumer les résultats de la façon suivante :

Posant O) = ^m si m ^ a ou 3 (raod 4)

0) = —^-^\/'ri si m=i (mod 4)

4a forme générale des entiers du corps C{\/m) est x 4- yw (5c, y -entiers). Dans tous les cas w est la première racine de

{5) to^ -\- pw

en posant

A == !tm ek p = 0 si

m ^ a ou 3 (mod 4)

A = m p = I si

AU ^ I (mod 4).

On voit que dans tous les cas w est la première racine de la forme principale de déterminant à.

Nous poserons aussi comme plus haut

c'est-à-dire

k = m 9» m^:*ou;3 (mod i)

k = — - — si m ^ I (mod 4)'

L'équation en w est

<jt)'^ -\- pti) — k = o.

Donc

— k = %(aj).

La forme principale de déterminant A est (i, p, -^ A;).

Remarque. — Les entiers du corps C(v/m) qui sont rationnels sont les entiers ordinaires. En effet x -+- yune peut être rationnel <}ue si y = o.

Définition. A s'appellera le déterminant du corps. (La quantité — A s'appellera le discriminant) .

Si m ^ 2 ou 3 (mod 4) le corps est dit de première espèce ^ le déterminant du corps est alors ^ o (mod 4) ; toutes les formes quadratiques binaires de ce déterminant sont aussi de première •espèce.

Si m ^ I (mod 4) le corps est dit de seconde espèce, le déter-

Corps C(i)

cy^)

minant est alors ^ i (mod 4), toutes les formés quadratiques^ binaires de ce déterminant sont de seconde espèce. Exemples :

^ ^ — 1 + iV3>

. Enfin une remarque importante est que : toutes les Jormes de déterminant A sont primitives. En effet, pour qu'une forme de déterminant A ne soit pas primitive il faut que A soit divisible par

un carré et de plus, au cas où ce carré est 4 il faut que j ^ o ou i

(mod 4). Or si m ^ i (mod 4) on a A = m donc A n'est divisible^ par aucun carré, et si m ^ 2 ou 3 (mod 4) on a A = l\m^ alors A.

n'a d'autre diviseur carré que 4 et, dans ce cas, - n'est congru

ni à o ni à i (mod 4)-

Bases. — D'après ce qui précède l'ensemble des entiers forme un réseau construit sur la base i, w (n" 275). On sait qu'il existe une infinité d'autres bases du même réseau, à savoir :

£2 = m -f- nw £2' = m' -f- n'o)

(m, n, m', n' entiers ordinaires tels que mn' — m'n = dt i).

Déterminant. — On appelle déterminant d'un système de deux^ entiers a + 6w, a' -+■ 6'go, l'expression :

' = {ab'

qui se réduit à :

{ab' — 6a')

(w est la quantité conjuguée de w, c'est la seconde racine del'équa^ tion (5), elle est égale à — p — w).

On voit que : 1° le déterminant de deux entiers du corps est divisible par le déterminant A du corps et de même signe que lui; 3° la valeur absolue la plus petite possible de déterminant de deux-

UNITÉS. NOJIBRES ASSOCIES 665

entiers d'un corps est \ A \ ; S*» quand cette valeur est atteinte les deux entiers forment une base du corps.

349. — La somme, la différence, le produit de deux entiers du corps C{/in) sont des entiers du même corps. Cela résulte des égalités :

{x + yix>) ± (x' ■+- j'w) =x dz x' -h (y dz /)a)

(x + jto) {x' -+■ y'w) = xx' -+■ kyy' -+- {xy' -h x'y — pjj')t»>.

Les entiers du corps C(v/m) forment donc an anneau (n° 313). On a :

%(a + 6w) = (a -{- 6to) (a + bZ) = a* — ç>ab — kb\

On trouve facilement pour le rapport de deux entiers du corps :

a -{- boi ac — pad — kbd bc — ad

c + do) c" — pcrf — kd^ '^ c^ — pcd — kd^

Les conditions nécessaires et suffisantes de divisibilité de a -h 6o> par c + c/w sont donc que ac — pad — kbd et bc — ad soient divisibles par c^ — pcd — kd^. Une condition nécessaire est que %(a + 6w) soit divisible par Tb(c + c/w).

Représentation géométrique pour les corps imaginaires. — Si l'on construit le parallélogramme dont trois sommets sont les points G, I, w, les nombres entiers sont les sommets du réseau construit sur ce parallélogramme. La norme d'un nombre est représentée par le carré de sa distance à l'origine. Lorsque m ^ 2 ou 3 (mod 4), la quantité w est purement imaginaire et le réseau est rectangulaire.

Exemple : i' m = — 2, cd := i /a, les entiers sont de la forme x '-{' iy /a ; l'entier x + ij ^2 est représenté par le point de coordonnées X, y ^2.

351. Unités. Nombres associés. — Les «AiiV/s du corps C(v/m) sont les entiers qui divisent tous les autres. Il y a d'abord les unités ± I, proposons-nous de trouver les autres.

L — Pour qu'un entier de corps C{\/tn) soit une unité il faut et il suffît qu'il divise 1 .

II. — Pour qu?un entier de corps C(v^râ) soit une unité il faut et il suffit que sa norme soit ± i.

Les démonstrations de ces théorèmes sont identiques à celles données au n° 3i4. Ceci posé on a vu (n" 350) que la norme de ic + yw est X* — pxy — ky^. Les unités sont donc déterminées par :

(6) x^ — pxy — ky^ = rt i

c'est-à-dire par L'équation de Fermât (n"* 126) avec le changement de notations t= x, u = — y. Celte équation ayant été résolue complètement, il en est de même du problème des unités. Discutons les résultats.

L Corps imaginaires. — L'équation de Fermât n'a qu'un nombre hmité de solutions, il n'y a qu'un nombre limité d'unités.

Pour les corps de première espèce (m ^ 2 ou 3 (mod 4) l'équation (6) s'écrit :

a;2 — A;j^ = di 1 c'est-à-dire :

x^ — ky^ = 1 puisque fr < o.

Si — A: > I il n'y a que les solutions x ^=zïz ij y = o, donc il n'y a que les deux unités ± i.

Si — /t = I (cas du corps C(i), il y a en outre les solutions X = o, y = dz I d'où les deux autres unités ± i.

Pour les corps de seconde espèce m ^ i (mod 4) :

l'équation (6) s'écrit :

{2œ — yy — (4/c -+- i)y' = ± 4.

c'est-à-dire, puisque 4^: -f- i <; o,

(2X — yY 4- (— 4/f — i)y^ = 4.

Si — A; > I il n'y a que les solutions x = ± i, y = o et par conséquent il n'y a que les deux unités ± i .

Si — k = i (cas du corps C{j) il y a en outre les solutions ^x = o, y = dz letas = y = ±: i, d'où 6 unités : ± i, dzj,

En résumé : Les corps imaginaires n'ont que les deux unités zt i.

UMTÉS. ?Ï0MBBES ASSOCIES 667

^auf le corps C{î) qui en a deux autres : ± i^ et le corps G{j) qui en a quatre autres : ±jj±{i -hj)-

II. Corps réels. — Dans ce cas l'équalion de Fermât a une infinité de solutions, il y a une infinité d'unités. D'après les résultats du n° 129, il y a une unhé fondamentale «i = Xi -\- jiW telle que toutes les unités sont données par les formules ± (mi)\ /* étant un entier positif ou négatif ou nul.

On trouve l'unité fondamentale par le développement en fraction continuene de w comme il a été expliqué au n" 127.

On p«ul esicore dite que le» unité» forment un groupe, relativement à la multiplication ordinaire, et que ce groupe a une base — I, Ui, toute unité étant représentée par ( — i) Ui où a. est défini au luodule 2 près, et h complètement défini.

D'ailleurs pour les corps imaginaires les unités forment aussi un groupe, qui est alors fini et abélien.

Remarquons que si Ui est une unité fondamentale — ea est une aussi et il n'y en a pas d'aotres.

Exemple I. €(^'2). — L'équation de Feimai est x* — aj* = ± 1 . La solution fondacaentale est a: = i, y = i. Le& unités sont données par le» formules, rk (1 + ^2)^ {h entier posi'if, négatif ou nul).