Quotient et reste de deux entiers d'un même corps
— ^ Voyons s'il existe pour deux entiers d'un même corps une opé» ration analogue à la division.
C'est-à-dire proposons-nous : étant donnés deux entiers a, /3 du corps C(v/m), de trouver deux entiers X, a du même corps, satisfaisant aux conditions :
a = Py -|- ff
On voit comme au n° 307 que ce problème peut s'énoncer : étant donné un nombre â' (ici c5* = ^ j, trouver un entier X tel que
^(S — X)< 1- Si ce problème est possible quel que soit c? il y a une division,, sinon non.
DIVISION DANS LE CORPS C (v/m) 669
Corps imaginaires. — Par la représentation géométrique on voit comme au n° 313 que cela revient à la condition suivante : traçant de chacun des quatre sommets d'un parallélogramme du réseau des cercles de rayon i ces cercles recouvrent tout le parallélogramme.
Ceci posé on voit facilement qu'il y a une théorie de la division pour les corps :
C(0, C(iVâ). C(iV3), C(iv^), C(iVn).
Corps réels, — En posant :
on doit donc écrire :
%{x — a + (j — 6)w) < I ou :
j (a, - af - ç{x -a) {y -h)- k{y — hy\<i ou :
On peut choisir y de façon que | y — 6 j < - , alors : —
|)uis, y étant choisi, on peut choisir x de façon que :
Alors l'expression (7) est inférieure ou au plus égale au plus petit des deux nombres -n>) - Donc si A < 16 il y a une théorie ^e la division. On voit que cela arrive pour les corps :
De la théorie de la division on déduit celle du plus grand commun diviseur, puis celle des nombres premiers comme dans les corps G(i), C(0, C(/).
Un nombre sera dit premier lorsqu'il n'aura pas d'autres divifieurs que ses associés et les unités. Avec celte définition lorsqu'un nombre est premier ses associés le sont aussi, mais on pourra
choisir l'un d'eux ooaume il a été expliqué au n° 351 pour luiréserver le nom <ie premier. On démontrera alors que tout entier est décomposable et d'une sQule façon en un produit d'unités fondamentaies et de facteurs premiers. '
Enfin on détermine facilement ces facteurs premiers. Considérons les nombres premiers réels et divisons-les en deux classes : i" ceux qui peuvent se mettre sous forme d'une norme, c'est-à-dire c^ ■\- bpour le corps G(i), a^ + 26^ pour le corps G[i 11/2), a} — 26^ pour le corps G(/2) etc. ; 2° ceux qui ne peuvent se mettre sous cette forme.
Ceux de la première classe ne sont plus premiers dans le corps C{\/m) mais ils se décomposent en deux facteurs premiers conjugués. Ceux de la seconde classe continuent à être premiers dans le corps C(v/m).
D'ailleurs la forme de la norme est la forme principale de déterminant A, et comme, dans tous les cas cités où il y a une théorie de la division, il n'y a qu'une forme de déterminant A, la condition pour qu'un nombre ordinaire p soit représentable par cette forme est que la congruence œ^ e^ A (mod (xp) soit possible. On trouve aussi que pour :
les nombres
premiers
ordinaires
ïïi
qui ne sont plus premiers sont les nombres
et le
nombre
lah — I
-ha
ii/i -f- I
12/t rh I
DIVISION DANS LE CORPS C (/m) 67!'
Le nombre qui est à part dans chaque cas se décompose en un produit de deux facteurs premiers égaux, les autres en un produit de deux facteurs premiers inégaux.
Mais pour les corps pour lesquels il n'y a pas de théorie de la division les raisonnements précédents ne réussissent pas. Il y a^ plus, les résultats auxquels conduit cette théorie ne sont pas toujours exacts. Par exemple, dans le corps C{i\/5) on a
(8) 3 X 7 = (1 -4- 2J v/5) (1 — aiV5).
Or 3, 7, I H- 2iV5 et i — 21/5 sont des entiers qui n'ont d'autres facteurs que leurs associés ou les unités du corps. En effet, cherchons à décomposer 3 par exemple en un produit dedeux facteurs
3 = (a -H 6tV5) (c -+- (fi/5).
On en déduit
3 = (a — 61/5) (c-h(/iv/5) d'où, par multiplication
Si aucun des facteurs a -f- bi^E et c -^- dit/5 n'était une unité,, aucun des facteurs a^ H- 56' et c^ -+- 5c?^ ne serait égal à i. L'égalité précédente exigerait donc que
ce qui est impossible.
Une démonstration analogue s'applique aux autres facteurs.
D'autre part les facteurs de l'un des membres de l'égalité (8) nesont pas les associés des facteurs de l'autre.
La conclusion est que si l'on voulait, dans le corps C{i\/by garder l'épithète de premier aux entiers qui n'ont d'autres facteurs que leurs associés ou les unités du corps, un entier pourrait se décomposer de plusieurs façons en facteurs premiers ; même en neconsidérant pas comme distinctes deux décompositions dans lesquelles les facteurs de l'une seraient associés des facteurs del'autre. Ainsi nous serions conduits à une théorie entièrement, différente de celle du corps C (i).
I. — On peut donner une représentation géométrique aussi pour les corps réels. Soit le corps C{^m). On représente a -f- b\/m par le point de coordonnées rectangulaires a, b. Les entiers du corps forment un réseau.
Soit le nombre a -\- b </m représenté par A d'abcisse OP, d'ordonnée PA. Alors OP = a PA = 6 /m ; la norme a^ — mfc'' est donc égale à OP' — PA*. C'est ce qu'on appelle le carré de la distance hyperbolique OA. (Cette quantité n'est pas invariante par un changement des coordonnées).
Traçons l'hyperbole équilatère x^ — J* = 1 , soit I un point ou OA rencontre cette hyperbole. Le carré de la distance hyperbolique OA
ÔÂ*
est — -. Lorsque OA coupe l'hyperbole en des points imaginaires
on'a 01* = — OJ*, J étant le point d'intersection de OA avec l'hyperbole conjuguée de la précédente.
On peut poursuivre ces analogies. Mais cette représentation géométrique est beaucoup moins avantageuse que la précédente : 1° parce qu'elle est moins simple : 2' parce qu'elle dépend des axes de coor- <lonnées.
n. — On dit qu'un corps Ci est contenu dans un corps G lorsque tous les nombres de C, appartiennent à C- Démontrer qu'un corps quadratique ne contient pas d'autre corps que lui-même et le corps ^es nombres rationnels.
