CHAPITRE XXIX
IDÉAUX DANS LES CORPS QUADRATIQUES DÉCOMPOSITION EN FACTEURS IDÉAUX PREMIERS
354. — Ne pouvant, dans les corps quadratiques arriver, en général, à la théorie de la divisibilité par celle de la division, nous allons chercher à y arriver par celle des formes linéaires. Il est évident, en effet, que la considération de la forme linéaire à une variable est identique à celle des multiples d'un nombre, et Ton a vu d'autre part (I. i43) comment la considération de la forme linéaire à deux variables conduit, dans le corps G(i), à la théorie du plus grand commun diviseur.
Il s'agit de formes
«1^1 + «2^2 4- ... + Ctn^n
dans lesquelles les coefficients et les variables ont des valeurs entières appartenant à un même corps quadratique G (/m).
Si sur une telle forme on fait une subtitution linéaire homogène dont les coefficients sont des entiers du corps G{^m) on obtient une seconde forme contenue dans la première. Tous les entiers représentés par la seconde le sont aussi par la première. Si cette substitution a un déterminant égal à une unité du corps les deux formes représentent les mêmes entiers ; elles sont dites équivalentes. Nous allons chercher une forme réduite om canonique ^^onv xmià forme linéaire.
On a vu (I. 281) que dans le corps C (i) cette forme canonique est dxi ; il n'en est pas de même ici, en général.
Cahen. — Théorie des nombres, t. II. 43
Idéaux. — L'ensemble des entiers 'représentés par une forme linéaire «i^i + «1^2 -+■ ... -^ ocn^n s'appelle un idéal du corps C(/m). On le désigne par («i, «2, ... (/.„). L'ensemble des entiers «1, «2, ... a„ s'appelle base de l'idéal. On voit qu'il n'y a pas de différence essentielle entre les expressions « forme linéaire » et a idéal ». Nous emploierons la première lorsque nous voudrons considérer spécialement l'expression elle-même, et la seconde quand nous voudrons considérer spécialement l'ensemble des entiers représentés par cette expression. Par exemple deux formes linéaires non identiques ne foront cependant qu'un seul et même idéal lorsqu'elles représenteront les mêmes entiers. Nous dirons dans ce cas que les deux idéaux sont égaux. Dans un idéal («1, «1, ... an) on peut remplacer chaque a par un quelconque de ses associés sans changer l'idéal.
Plus généralement à quoi reconnaitra-t-on que deux bases différentes «1, «2, ... «n et a/, Kj', ... ct'n' définissent un même idéal.
Il faut pour cela et il suffit, que chacun des entiers «1, «2, ... «n appartienne au second idéal, et que chacun des entiers ai', «2', ... a»' appartienne au premier. Comme conséquence :
Si sur les éléments de la base d'un idéal oci, a^, ... (/.„ on Jait une substitution linéaire
dont les coefficients soient des entiers du corps et dont le déterminant soit une unité du corps, t idéal (a/, «2', ... a'n') est le même ^ne l'idéal {ai, «2, ... an).
Remarque. — Lorsqu'un idéal est mis sous deux formes différentes
(aj, 0(2, ... ^n) = W» a/ ... a'^^)
tes communs diviseurs de ai, a%, ... a» sont les mêmes que ceux de En effet puisque «i' appartient à l'idéal («i, «2, ... a») on a
IDÉAUX DANS LES CORPS QUADRATIQUES ÔyS
Donc tout commun diviseur de 7.1, aa, ... a„ divise a/, de même àl divise «a', as', ... De même tout commum diviseur de a/, «/, ... divise «1, «j, ...
Théorème. — Toa^ idéal
(2) (ai, 22, ... a„) (n > 2)
e5f ^</a/ à un idéal dont la base n'a que deux éléments
On peut de plus supposer que l'un des deux entiers S est un entier ordinaire.
En effet on peut sans changer l'idéal (aj, ai, ... a„), remplacer un élément «i par «i -h a^. On peut aussi, sans changer l'idéal échanger deux éléments a», (/.j. En effet ces deux opérations sont des cas particuliers de la substitution linéaire (i).
Ceci posé, mettons chaque élément a sous la forme aH-èco. Soit
«1 = fli H- 61W arj = 02 -t- 62a) ... c(^z=: ttn -h 6»^
et considérons le tableau
Oi as ... a„ 61 hi ... 6rt
On voit que les opérations dont on vient de parler ont pour effet d'ajouter dans le tableau une colonne à une autre, ou d'échanger deux colonnes. Or on sait (1. 874) qu'on peut ainsi amener le tableau à la forme
Alors l'idéal (2) prend bien la forme (3) ou
ce qui démontre le théorème.
Les nombres â'i, ai ont les mêmes communs diviseurs que les nombres «i, «2, ... ce», parce que dans les transformations effectuées : addition de deux nombres, échange de deux nombres, •ces communs diviseurs ne changent pas.
Autre énoncé du même théorème. — Toute Jorme linéaire^ CCj^^ 4 «j^j -4- ... -4- a,4n est équivalente à une Jorme (J^i|i + cJ'â^a-
Reste à voir si la réduction peut être poussée plus loin et si la base à deux éléments cJ^i, c?», peut être remplacée par une base à un seul élément, comme dans le corps C(i). Pour cela étudions de: plus près la forme c?i^i -+- ù^^i et les formes à une variable.
