IDÉAUX DANS LES CORPS QUADRATIQUES

Et ainsi la forme ai|i + a-^î devient

( — r H- (i))a; + ny.

Je dis de plus que

r^ + pr — fc ^ o (mod n).

En effet tout nombre de l'idéal multiplié par w est encore un nombre de l'idéal. Or — r -f- w est un nombre de l'idéal. Il en est «donc de même de — rw H- w^ ou — (r H- p) w -+- A;. Il y a donc ■des entiers x, y, tels que

( — r ■+- oi)x -\- ny = — (r + p) w -h /c

<i'où

( — rx -{- ny = k

On tire de là

,. ^ - (r^ -t- pr - k)

•donc, puisque y est entier :

r* H- pr — k ^ o (mod n).

Réciproquement, toute expression

■(4) ( — r -h w)x + ny

dans laquelle

(5) r* -H pr — fc ^ o (mod n)

est un idéal.

Il suffit pour le démontrer, de démontrer qu'elle est équivalente à une forme linéaire du corps C(v/m). Or elle est équivalente à

<6) {— r -{- w) {x -h jw) 4- n{x' -+- y'o)).

Ceci veut dire que tout nombre représenté par (4) l'est aussi par (6) et réciproquement.

En effet donnons-nous dans (4) x = p, y == q, il n'y a qu'à f)rendre dans (6)

pour que le nombre représenté par (6) soit le même que celui représenté par (4)

Réciproquement donnons-nous dans (6)

et déterminons x, y dans (4) de façon que v

( — r-\~ tà)x -\- ny =z {— r -h ix>) (/) -h qu>) -h n(p' H- g'w).

En remplaçant w'* par — pw -+- /r, on voit que ceci revient à

( — rx -h ny = — rp -\- qk -\- np' I X = p — qr — qp -h nq'

On tire de là pour cc^une valeur entière et pour y la valeur

y = p' + qr — q '- —

qui est entière aussi à cause de la condition (5).

La forme (5) s'applique à un idéal primitif. Quant à un idéal' non primitif il se met sous la forme

d{ — r -H (a)x -+- dny

d pouvant être supposé positif, et r, n, satisfaisant à la condition (5).

Remarque. — La condition que n satisfait à la congruence (5) peut-être remplacée par la suivante : nest représentable primitif vement par une forme primitive de déterminant A (n° 180). Quant à d^n il est aussi représentable par une telle forme mais pas forcément d'une façon primitive.

Définition. — Quand un idéal est ainsi mis sous la forme

d ( — r ■+■ w)a; ■+■ dny avec c? >> o nous dirons qu'il est réduit.

356. — Conditions pour que deux idéamc réduits soient égaux. Soient :

[d(— r +'co), dn] et \d'{— r' + w), d'à'].

Il faut que le premier contienne le nombre d'( — r' -f- w) qui