IDÉAUX RÉDUITS
appartient au second. Il faut donc qu'on puisse déterminer les entiers ordinaires x, y tels que :
d[ir
ny]
ce
qui
donne ;
dx ■■
rx
+ ny) =
où :
d'{r — dn
Donc cP doit être divisible part/. Mais on verrait de même que d doit être divisible par (f . Comme de plus d et d sont positifs on a :
La valeur de y montre alors que ;
r' ^ r (mod n).
Ecrivons maintenant que le premier idéal contient le nombre dn/", qui appartient au second. Il faut donc qu'on poisse déterminer les entiers ordinaires ce, y, tels que :
( — r 4- ^^y^ -{- ny = n!
ce qui donne :
Il faut donc que n' soit divisible par n et comme on verrait de même que n' doit être divisible par n il en résulte :
En résumé les conditions sont :
d' =: d n' = zh n r' ^ r (mod n) .
On voit sans peine que ces conditions sont suffisantes.
Méal réduit parfait. — Il résulte de ce qui précède que parmi tous les idéaux réduits égaux à un idéal donné on peut en trouver un et un seul [«/( — r + cjy, dn] tel que n soit positif, tel de plus que o < r < n. On l'appellera idéal rédaàt parjait. Et l'on voit
que deux idéaux réduits parfaits ne peuvent être égaux sans être identiques.
Définition. — Dans un idéal réduit parfait [d[ — r + w), c?/i] d s'appelle le diviseur ; d'^n s'appelle la norme ; dr s'appelle le résidu.
Lorsque l'idéal est primitif le diviseur est i , la norme est n et le résidu r.
Lorsque l'idéal est réduit /)a//ai7 la norme est d^n et le résidu d^r.
Théorème. — Le plus grand commun diviseur des coefficients de w dans les entiers appartenant à l'idéal est égal à d. C'est aussi le plus grand commun diviseur de ces coefficients et des parties réelles.
En eflet, les coefficients de « sont les entiers de la forme dx et parties réelles sont les entiers de la forme d{ — rx -+- ny).
Théorème. — Le rapport de la norme au diviseur, pris en valeur absolue, est le plus grand commun diviseur des entiers rationnels appartenant à l'idéal. En effet un entier appartenant à l'idéal d[{ — r + w)a; + ny] n'est un entier rationnel que si a: = o. Les entiers ordinaires appartenant à l'idéal sont donc les entiers dny, dont le plus grand commun diviseur est c? | n | . On peut dire aussi que ce plus grand commun diviseur est le plus petit de ces entiers rationnels positifs.
Idéaux conjugués. — Il est évident que l'ensemble des entiers conjugués de tous les entiers d'un idéal forment eux-mêmes un second idéal. Ce second idéal est dit conjugué du premier, et il est évident que le premier est aussi le conjugué du second.
L'idéal conjugué de [c?( — r -\- oi), dn] est évidemment :
|of(— r + w). dn] ou :
[c!(— r — p — (si), dn]
ou enfin :
[d{r + p + co), dn].
On voit que deux idéaux conjugués ont même norme et même diviseur. De plus les résidus r, r' satisfont à la condition :
r -\' r' ^ — p (mod n).
IDÉAUX AYANT UISE NORME DONNEE 68l
357. Trouver les idéaux ayant une norme donnée. — On mettra d'abord la norme donnée, de toutes les façons possibles, sous la forme d^n. Pour chacune de ces façons on cherchera les idéaux primitifs ayant pour norme n, puis on les multipliera par d.
Pour trouver un idéal primitif ayant pour norme n, on résout la congruence :
r^ + pr — k ^ o (mod n).
Si cette congruence est impossible, autrement dit si n n'est pas représentable primitivement par une forme primitive de déterminant A, le problème est impossible. Dans le cas contraire, à toute racine r de cette congruence, définie au module n près correspond un idéal et un seul répondant à la question, à savoir ( — /* + w, f^)- D'ailleurs si r satisfait à la congruence, — r — p y satisfait aussi. Donc, en même temps qu'un idéal on trouve l'idéal conjugué, ce qui était évident à priori. On voit qu'il y a un nombre Jîni d'idéaux ayant une norme donnée.
Cas particulier. Idéal de norme i. — Alors d = i et r = o. ïl n'y a qu'un idéal de norme i et c'est l'idéal (w, i). C'est donc l'ensemble de tous les entiers du corps. On peut le représenter plus simplement par (i).
358. — On vient de voir que tout idéal d'un corps quadratique a une base composée au plus de deux éléments (a, p). Les entiers de cet idéal sont ceux représentés par la forme a^ + ^r,. Dans le ■corps rationnel C(i) les formes à deux variables ax + by se ramènent à des formes à une seule variable, autrement dit tout idéal est composé des multiples d'un certain entier.
Nous allons voir qu'il n'en est pas de même, en'général, dans un corps quadratique et pour cela nous allons chercher les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un idéal ( — r + w, n) se compose des multiples d'un entier a -t- 600.
Nous supposerons d'abord que a et 6 sont premiers entre eux.
Pour que tous les nombres ( — r -f- w)x + ny soient des multiples de a -}- 6«, il faut et il suffit que — r + w et n soient séparément des multiples de a + 600, c'est-à-dire (n" 350) que les quatre
entiers :
— or -{- pbr — kb ( \ a+br
^'^^ ' ^ an — pba
— bn
soient divisibles par a^ — pab — kb^.
Mais les conditions précédentes ne suffisent pas, il faut de plusque tout multiple de a + 6w soit un nombre de l'idéal et pour cela il suffit que a + 6« en soit un. On trouYC aussi :
(8) a -\- br ^o (mod n).
Les conditions (7) et (8) sont les conditions cherchées. On a de plus comme dans tout idéal :
(9) r' + pr — k ^ o (mod n).
Les conditions (7) et (8) se simplifient. D'après ces conditions l'entier b est premier avec n car si 6 et n avaient un facteur premier commun ce facteur diviserait a d'après (8), ce qui est impossible puisque a et 6 sont premier entre eux. La condition (8) donne alors :
r ^ — 7 (mod n)
et en portant dans (9) on troure :
(10) a^ — pa6 — kb^ ^ o (mod n).
D'autre part 6 est premier à a^ — cab — /f6*. Donc la quatrième condition (j) entraîne :
(11) n^o (mod a^ — pab — kb').
Comparant (10) et (11) on voit que :
(12) n = ± (a^ — pab — kb^).
Alors les conditions (7) et (8), (g) se réduisent immédiatement à :
f — ar -^ pbr — kh^ o (mod n) (i3) l a -\~ br ^ o (mod a)
\ r^ -}- pr — k ^ o (mod n).
IDEAUX àlàlVT WÎIB HORUB DONNEE 68>5
Mais on voit facilement que la condition (12) et la deuxième condition (i3) entraînent les deux autres conditions (i3).
Un idéal fofmé par l'ensemble des multiples d'ua même entier s'appelle un idéal principal ^ et l'on a l'énoncé suivant ;
Pour qu'un idéal primitif ( — r + rù, n) coïdeide avec Vidéal principal (a + 6w), il faut et il suffît que F on ait :
/ r ^ — r (mod n).
Il en résulte évidemment qu'un idéal n'est pas toujours un idéal principal car, en particulier, la première des deux conditions précédentes exige que n soit représentable primitivement dans ta classe principale ou dans cette classe changée de signe (cette condition n'est pas, en général, suffisante ; voir n° 378).
Il arrive souvent, comme an le verra plus Iwn, qu'on peat confondre complètement l'idéal principal (a) avec l'entier a. C'est pourquoi il nous arrivera, lorsqu'il n'en pourra résulter de confusion, de désigner l'idéal principal (a) para.
Exemples : 1° L'idéal de norme i dans un corps queFconque (n*» 357), formé de tous les entiers du corps est un idéal priacipal, l'idéal (i) ;
2° Soit le corps G(i /5). Ici D = 20; il y a deux classes primitives, celle de la classe (i, o, 5) (classe principale), et celle de la classe
(2, 2, 3). Considérons n = 21 = i^ + 5 . 2^ et r = i o ^ — -
(mod 21), nous avons ainsi l'idéal ( — 10 -\- iV^? 2 1) qui est principal et identique à l'idéal (i + 2t \^).
