La forme donnée aux entia:^ d'un idéal,, à savoir

montre que tout idéal est un réseaa.

Cherchons réciproquement le» conditions nécessaires &t snfBsantes pour qu'un réseau :

(à -}- b(ji)x + (c -f* ^'^b'

soit un idéal. Ces canditions sont que {a -4- 6<u)(.i et (c -4- d(a)fiy appartiennent au réseau. En effet ces conditions sont évidemisent

684 THÉORIE DES NOMBEES

nécessaires. Elles sont suffisantes, car si elles sont remplies tout nombre (a + 6w) (x + as'w) + (c + (/w) (y + y'wj appartiendra aussi au réseau, c'est-à-dire que le réseau contiendra tous les nombres de l'idéal (a + 6w, c + c/w). Comme d'ailleurs tout nombre du réseau est un nombre de l'idéal, le réseau et l'idéal coïncideront.

Pour exprimer que (a + 6«)w appartient au réseau, nous écrirons qu'il y a des entiers x, y tel que :

(a H- b(ji)x + (c -h d(j>)y = (a -h 6a))a) = aïo — 6(pt»> — k)

c'est-à-dire :

ax -\- cy = bk

bx -\- dy = a — 6p.

On écrira de même que (c -i- cfw)oj appartient aussi à l'idéal et finalement on trouve les quatre conditions :

a^ — pa6 — kb^ \

ac-fbc-kbdl^"'-""^'"'-'^^

ac — pad — kbd j

qui d'ailleurs se réduisent à un nombre moindre. Ainsi dans le cas du réseau ( — r -\- (Sjx -\- ny les quatre conditions se réduisent à la condition (5). Dans tous les cas l'une des deux dernières peut être supprimée.

360. Corps dont tous les idéaux sont principaux. — Pour que tous les idéaux d'un corps soient des idéaux principauux, il faut et il suffit qu'au déterminant A ne corresponde que la classe principale et cette classe changée de signe.

La condition est nécessaire. En effet, je dis d'abord que si elle n'est pas remplie on peut trouver un entier n représentable primitivement dans une classe primitive de déterminant A, mais non dans la classe principale ou dans cette classe changée de signe.

En effet considérons un entier représentable primitivement dans une classe de déterminant A, ses facteurs premiers sont aussi représentables primitivement dans des classes de ce même déterminant (n° 181). Alors considérons l'ensemble des nombres pre-