PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR DE DEUX IDEAUX 69S

l'ensemble non de la forme a|. Tous les entiers a| + jSvj appartiennent à l'ensemble. S'ils forment tout l'ensemble cet ensemble n'est autre que l'idéal (a, |3) etc. Je disque celte suite d'opérations s'^arrête et qu'à un moment on trouve tout l'ensemble. En effet si l'on considère la suite des idéaux (a), (a, jS), («, jS, y), ... chacun d'eux est un diviseur du précédent, sans lui être identique (car (a, |3) = (a, ^. y) par exemple entrainerait que y appartient à (a, |S), ce qui n'est pas). Donc les normes de ces idéaux successifs sont chacune un diviseur de la précédente. De plus, une norme n'est pas égale à la précédente puisque, si cela était, cela voudrait dire que le rapport de deux idéaux consécutifs aurait comme norme i. Ce rapport serait donc l'idéal i (n° 357), c'est-à-dire que deux idéaux consécutifs seraient identiques, ce qui n'est pas. Il est donc bien évident que la suite d'opérations s'arrête.

369. Plus grand commun diviseur de deux idéaux. — On appelle plus grand commun diviseur de plusieurs idéaux I, I', I", ... un idéal D qui jouit de la propriété que : l'ensemble des diviseurs communs à I, I', F, ... coïncide avec V ensemble des diviseurs de D. Montrons d'abord qu'il ne peut y en avoir qu'un. Car, supposons qu'il y en ait deux D et D'. Alors D doit être un diviseur de D' et D' un diviseur de D