KK' = I

Or l'idéal i n'a pas d'autre diviseur que lui-même. Donc K = K'= I ;doncD = D'.

Montrons maintenant qu'il y en a un.

Théorème. — Le plus grand commun diviseur des idéaux

I = (a, /3, ...), r = («'. /3', ...). I" = (a'. /3' ...) ... est D = («,/3, ...a',^'. ...a'^/B"...).

En effet un idéal commun diviseur de I, F, I" ... contient tous les entiers de la forme :

a^ + |3yj 4- ... -^ a? + jS'yj' +...-+- a"^" -h /3V + ••. donc tous les nombres de D, donc c'est un diviseur de D.

€fg^ THÉORIE DBS NOMBRBB

ftëciproquement toiit diviseur de D contient toirs ks nombres delj'tous cenx deT, 'etc., donc c'est un diviseur de'I, T, ...

'Cas particulier. — Tout idéal (a, j^, ...) est le plus grand commun diviseur des entiers a, |S, ... qui forment sa buse.

'870. — Deux idéaux sont dits premiers entre eux lorsque leur jilus graufl commun diviseur est i. Ils n'ont pas alors d'autre commun diviseur.

TriÉORTiArE. — Si Ton divise deux idéaux \,^ pur ''leur plus grand commun divisew'D, les quotients obtenus sont premiers .entre eux,

En effet si s^ et «î .avec un diviseur commun E différent de i,

I^ r seraient divisibles par DE qui n'est pas un diviseur de D.

Donc D ne serait pas le plus grand commun divieeur de I at I'.

Réciproquement. — Si en divisant deux idéaux I et V par un

diviseur commun D, les quotients t\ ^^ îâ sont premiers entre eux,

C'est qxte JD -e&t le plus grand ^commun diviseur de 1 et îl'. Car 6i le plus ^grand diviseur de ,1 «t I' .n'était pas ©, ce plus .grand ecnmnun diviseur .teraiti de la forme DE lOÙ iE seraitdifferent.de i.

Alors ij et r auraiierit le commun tiiviseur E eft ne seraient pas

premiers entre eux.

Généralisation. — Des idéaux en nombre quelconque sont dits premiers dans leur ensemble lorsque leur plus grand commun diviseur est i. Ils n'ont pas d'autre diviseur commun. Si l'on divise des idéaux par leur plus grand commun divsieur les quotients obtenus sont pi^emiers dans leur ensemble.

Réciproquement. — Si en divisant des ideamc par un diviseur commun D les quotients sont premiers dans leur ensemble, D est plasgraml commsandivisear de cas idéaux.

>Même démonstration que pour deuxidéaux.

Remarque. — On peut encore définir le plus .grand commrai diiviiseurlDide plusieure Ldéanx en disant que Lc'fist.Dfîlui des diviseurs communs qui a la plus petite norme. En effet les autres diviseucs communs étant de la .forme DE, E étantdifférent de i , .leur norme est égale à celle de D multipliée par celle de E, c'est-à-dire par un entier ordinaire plus grand que x.

PLUS PETIT COMMUN ftIULTlPl.£ d'idÉAUX ÔqS

Théorème, — Quand an idéal I divise le produit de deux idéaux -JK et quil est premier à l'un d'eux J, il divise P autre K.

Nous laissons au lecteur le soin de démontrer ce théorème ainsi que ceux analogues de I chap. YII. Les démonstrations sont les mêmes que pour les entiers ordinaires.

371. Plus petit commun multiple d'idéaux. — Soient des idéaux I, J, K, ...

Considérons l'ensemble des entiers communs à ces idéaux.

(Il y en a car il y a tout au moins les éléments du produit de ces idéaux). Cet ensemble jouit évidemment de la propriété énoncée au commencement du n° 367. Donc c'est un idéal M. On l'appelle le plus petit commun multiple de I, J, X, ... Montrons qu'il jouit des propriétés caractéristiques du plus petit commun multiple des entiers ordinaires.

1° Tout multiple de M est un multiple commun à I, J, K, ... En effet tous ses éléments sont dansM, donc ils sont dans I, J, K, . ..

2° Tout multiple commun à I, J, K, ... est un multiple de M. En effet tout multiple commun à I, J, K, ... ne peut être formé que d'éléments commun à I, J, K, ... donc qui sont dans M.

Remarque. — Le plus petit multiple commun de plusieurs idéaux est, de tous les multiples communs celui qui a la plus petite norme et réciproquement.

Théorème. — Soient D et'M. le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple deux idéaux I e/ J. On a

DM=IJ.

En effet IJ étant multiple de I et J est un multiple de M. On a