U = ME

Reste à montrer que E est le plus grand commun diviseur de ÏJ. D'abord c'est un commun diviseur car

I = -i-EetJ = -ï-E.

ËBEFaite <;'eBt le plus grand, autrement dit g c* ^ sont premiers «entiiÊ eux.

En effet

Si y et y avaient un commun diviseur D' différent de i , alori^

^ , serait un commun multiple de I et J, dont la norme serait

plus petite que celle de M. Alors M ne serait pas le plus petit commun multiple de I et J.

Nous laissons au lecteur le soin de démontrer les autres théorèmes analogues de ceux démontrés pour les entiers ordinaires (I. chap. Vil).

372. Idéaux premiers. — Un idéal est dit premier lorsqu'il' est différent de i et qu'il n'est divisible que par lui-même et par i..

Théorème. — Tout idéal qui n'est pas premier est décomposahh en un produit d'idéaux premiers et cela d'une seule manière.

Soit un idéal I qui ne soit pas premier, il y a donc un diviseur D»