RECHERCHE DES IDEAUX PREMIERS
373. Recherche des idéaux premiers. — Soit p un nombre premier rationnel. Cherchons si l'idéal principal (p) est encore premier dans le corps C(v/m).
Théorème. — Les nombres premiers rationnels p qui sont tels que la congruence (i4) x^ -\- px — k^o{modp)
soit possible ne sont pas premiers dans le corps G(v/m), et réciproquement.
En effet, si la congruence (i4) est possible, soit r une solution. Considérons les deux idéaux conjugués
(— r + 0), p) et (— r-h (a, p).
Leur produit est égal à leur norme, c'est-à-dire à p. Donc p n'est pas premier dans le corps C(/m).
Réciproquement, si p n'est pas premier dans le corps C{s/m) soit p = IJ, I et J étant deux idéaux. On a p2 = %(!)%( J).
Donc
p étant une norme, la congruence (i4) est possible. . Remarque. — On peut écrire
en appelant r, r' les deux racines de (i4).
Cherchons maintenant d'une façon plus précise quels sont les nombres premiers p qui jouissent de la propriété précédente.
I" cas. p ■^zt 2, A ^ G (mod p).
La congruence ( 1 4) s'écrit
(i5) (2x -+- p)2 = A (mod p).
La condition de possibilité est
Ainsi, les nombres premiers impairs décomposables sont ceux, qui satisfont à la condition (i6).
Om a. vu (n° 106) qu'ils appartiennent à certaines progressions arithmétiques. On sait d'ailleurs, par un théorème de Lejeune Dirichlet qui sera démontré plus tard qu'il y en a uûe infinité.
2** cas. P ^ ^1 A ^ G (mod p).
La congruence (i/i) s'écrit encore sous la forme (i5). Elle est évidemment possible et admet une seule solution
x = — ^-^£-=^p (modp).
Donc dans ce cas
Ainsi les nombres premiers rationnels gai divisent le discriminant ne sont pas premiers dans le corps, ils sont le carré d'un idéal premier.
3® casm /) = 2. La condition de possibilité de la congruence (i4) est que l'un au moins des deux entiers o, i, y satisfasse, c'est-à-dire que l'un au moins des deux entiers k, i ■+- p — k soit pair. Distinguons deux cas :
a) m ^ 2 ou 3 (mod l\). Alors 0 = 0. Des deux entiers k,i — k l'un est pair, la condition est satisfaite.
Oi) Si m ^ 2 (mod 4) on a ^ pair, la solution de la congruence est a: ^ o et l'on a
as) Si m ^ 3 (mod 4) on a ^ impair, la solution de la congruence est x ^ I et l'an a
b) m^ I (mod 4). Alors p = i, les deux entiers à considérer
, m sont —
èi) Si m = I (mod 8), la congruence a les solutions o et i, et l'on a
62) Si m ^ 5 (mod 8) la congruence n'a pas de solution. Dans •ce cas (2) est un idéal premier
