RECHERCHE DES EDÉACK PREMIERS

Faisant usage de la notation du n° 37 c'est-à-dire : ( - J = o quand \^d (mod 2) /- j = 1 quand A ^ i (mod 8) ( -j = — 1 dans les autres cas,

on a l'énoncé suivant qui s'applique à tout nombre premier rationnel/) :

Si ( - j ^= 1 (/)) se décompose en deuï facteurs différents

)),( — )= — I (p) est premier

» I -]==:: o (/)) est le carré d'unddëal.

373. Idéaux premiers qui ne sont pas de la forme {p). — Soit I un tel idéal. L'idéal conjugué I est aussi premier, car s'il a un facteur K, l'idéal I a le facteur K. Considérons alors le produit

Il = %{I).

Cette égalité donne la décomposition de %(I) en facteurs premiers. Ceci prouve que ^(J) esft un nombre premier ordinaire. Car, sinon, %(I) aurait une autre décomposition en facteurs premiers. De plus ce nombre premier est décomposable dans le corps G[\/m). Ainsi : pour avoir les idéaux premiers qui ne sont pas de la forme (p), il Jaul décomposer en fadeurs les idéaux de la forme '{p) qui se décomposent.

Bésutué

Si (- I = I, p étant un nombre, premier quelconque, (/?) se déoompDse en deux: facteurs pj!eniierB difféireiits

(p) = (— r H- o), p) (— K + to, p)

r et r' étant les racines de r^ -\- or — k^ o (mod p). Dans le cas ou p = 2 on a r = 0 et r' = i.

7oo

Si (-) = o, {p) est le carré d'un idéal premier

(p) = ( r -h co, pY

r = ^ p dans le cas où p?^2,

r = o dans le cas où p = 2

et A ^ o (mod 8).

r = 1 dans le cas où p =: 2

et A = 4 (mod 8).

Si (-) = — I (p) est premier.

Remarque. — Dans le premier et le second cas la norme de l'idéal est p, l'idéal est primitif.

Dans le troisième cas la norme de l'idéal est p^, l'idéal n'est pas primitif, son diviseur est/).

Exemples. — i° Dans le corps C(i), m = — i, A= — 4- On a pour p impair

Donc si p ^ I (mod 4), (p) se décompose en deux facteurs premiersdifférents si p ^ — I (mod 4), (p) est premier. Quant à 2 c'est le carré d'un idéal premier. Ces résultats sont d'accord avec ceux du n° 321 .

a** Dans le corps C(y) m = — 3 A = — 12. On a pour p impair ;zf 3 ,

Les nombres premiers impairs tels que ( | = 1 sont ceux de la

forme 6/1 -t- 1 . Donc ces nombres se décomposent en deux facteurs premiers différents. Les autres sont premiers.

Pour le nombre 3, c'est le carré d'un idéal premier.

Enfin pour le nombre 2 il est premier. Ces résultats sont d'accord avec ceux du n" 340.

3" Exemple dans le corps C(v/i7) m = A = 17.

Les nombres premiers impairs tels que / -2 1 = i sont ceux de la

RF.CHERCHE DES IDEAUX PREMIERS 7OI

forme 17/1 ± i, ± 2, ± 4. =t: 8 ils se décomposent en deux facteurs premiers différents 19= (7 4- 2 '- j I 7 -f- 2 '-

Ceux des formes 17^ ±: 3, ± 5, rt 6, ± 7 sont premiers. Le nombre 17 est le carré d'un idéal premier 17 = (/i 7)^ Enfin 2 est le produit

^<le deux idéaux premiers 2 = ( 3 4- ) ( ^ "' ô )'

375. — Etant donnés des idéaux premiers sous la forme réduite trouver leur produit sous la même forme.

x" cas. — Puissances d'un idéal premier. Ce cas se subdivise en trois suivant les trois cas du n° précédent.

a) Puissances d'un idéal premier delà forme P = ( — r + w, /))

avec (- ) =1 et r^ + pr — k^o{mod p). La norme de P'"estp"';

je dis que son diviseur est i. Car sinon, en appelant d ce diviseur et n la norme, on aurait

de sorte que d serait une puissance de p. Alors P'" étant divisible par d contiendrait les facteurs premiers de /), soient P et P . Mais P n'étant pas identique à P, cela est impossible. Ainsi

P-» = (— R -t- o), p"') où il ne reste plus qu'à déterminer R au module /)"* près. On a R2 + pR — fc = o {mod p"").

Or r n'étant déterminé qu'au module p près on peut supposer {n° 35) que r satisfait à

r^ -\- pr — k ^ o (mod p'")

«t nous allons montrer que r étant ainsi choisi on a R = r. Plus généralement nous allons montrer que :

C'est vrai pour i = 1 ; supposons que ce soit vrai pour l'exposant i — I, démontrons -le pour l'exposant /. On a :

^ r 4- o), pY ={—r-\-o}, p'-^) (— r -+- 0), /)) = (— R -h w, p') et on va déterminer R en écrivant que ( — r + w)^ est contenu

703 THÉORIE DES NOMBfiES

dans l'idéal,, c'est-àî-dice qu'on a pour des valeurs entièrea^ de XQty,i

( — r 4- a>)2 := ( — R -|- u>)x + py OU. :

r^ -h k — (ar -\- p)w := — Rx -\- jfy + ccw.

On en tire :

On. a donc :

r2 -t- /c — R(ar -f- p) = o (mod- p').

Comme 2r -t- p ^ o (mod.p)^ ceci détermine la valeur de R au module /)' près.

Or comme la valeur R = r satisfait à cette condition, le théorème est démontré.

6) Puissances d'un idéal premier de ha forme ( — r -j- co, p) avec

( - j = o et r racine double de r^ + pr — k^o (mod p). On a alors :

et, de proche en proche :

{-r-ho^,p)^=(p^)=p\u>, i) et :

(__ r -4- o), p)2*+» = pi{— r -H «, p) ;

c) Puissances d'un idéal premier (/>) avec L—\=. — i. On a alors :

2® Cas. — Produit de deux idéaux dont les normes sont premières entre elles. Supposonsi d'abord les deux facteurs primitifs. Soit le produit :

( — r -h-wj n) ( — / ■+- tôt, n!).

ta norme du produit est nn'. Je dis d'ailleurs que le produit est piimitif.

RECHERCHE DES IDEAUX PREMIERS yXîS

En effet : les entiers n[ — r' + g>) et r^{ — r -f- w) appartiennent a ce produit. Donc le diviseur du produit doit diviser les coefficients de w dans ces deux nombres, c'est-à-dire n et ri . Donc puisque les entiers n et ri sont premiers entre eux, ce diviseur est égal à I . Ainsi :

( — r -h w, n) {— / H- u), ri) = ( — R H- w, nri)

où il ne reste plus qu'à déterminer R au module nri près. Pour cela, écrivons que ( — r -+- w)/i' et ( — r' -f- w)/i appartiennent au produit. Ecrivons :

( — r H- w)n' = (— R + ii>)x -H nriy d'où :

X = ri

Donc :

On voit de même que :

R = r' (mod ri).

Ces deux conditions déterminent bien R au module nri près. . Soient maintenant deux facteurs non primitifs :

[d{— r -t- a>), dn] [d'{— r' + u»), d'ri].

Ce produit est égal à :

dd'{ — r H- w, n) ( — r' ■+- w, ri).

On est ramené au cas des facteurs primitifs.

Comme r et r' ne sont déterminés qu'aux facteurs n et ri près, on peut les supposer égaux entre eux. Soit Rieur valeur commune. Alors :

d{— R H- u), n) X d'{— R -h w, ri) = dd'{— R -|- w. nri).

3* Cas. Formation du produit ?"•?"" .... — Etant donnés les facteurs premiers différents P, P', ... sous la forme réduite, on sait mettre sous la même forme P"*, P"*, ... d'après le premier cas, et ensuite P"*?'"* ... d'après le second.

376. Décomposition effective d'un idéal en facteurs premiers. — On donne un idéal sous la forme réduite, on demande de le décomposer en facteurs premiers mis sous la même forme. Soit l'idéal D(— R + w, N).

On va décomposer séparément D et ( — R 4- w, N).

Pour D on le décompose en facteurs premiers ordinaires, puis on décompose chacun de ces facteurs comme il a été expliqué au ji° 374.

Pour ( — R 4- w, N), on commence par décomposer N en facteurs premiers ordinaires, soit N = p'"p""' ... On a alors :

(— R + w, N) = (— r -MU, p»») (— r' H- œ, />'"«') ...

r, r', ..., étant déterminés par les conditions :

r ^ R (mod p"') r' = R (modp'"'')

On peut prendre par exemple r = r' = ... = R.

Ensuite, pour décomposer un facteur ( — r -h w, p*") on a,

et si [-j = G on a forcément m = i, car alors les puissances

paires de ( — r -4- w, p) sont des puissances de p et ont déjà été mises en évidence dans D.

Exemple : Décomposons en facteurs premiers, dans le corps C(i \/'b) l'idéal 490(16 H- o), 261) :

A = — 20 p = o k ^ — 5. On a:

Les facteurs 2 et 5, facteurs de A sont des carrés d'idéaux premiers donnés par les formules du n° :

Quant à 7 il est tel que ( - 1 = i , Les racines de œ* -f- 5 ^ o (mod 7) sont ± 3. Donc :

INDICATEUR 7o5

Ensuite a6i = 3* . 29. Donc :

{16 4- v/5, 261) = (i6 + v/5, 32) (16 -h v/5, ag) et l'on a :

(164- v/5, 3^) = (16 + v/5, 3)=^ = (i + s/E, Sy. Quant à (16 + /5, 29) il est premier. Finalement :

Parmi ces facteurs premiers il y en a deux dont la norme est représentable primitivement pour la forme principale (i, 0, 5) et qui sont par conséquent des idéaux principaux, à savoir : (v/5, 5) qui est identique à (/ô) et (16 4- v/5, 39) identique à (3 4- a v/5).

377. Indicateur. — L'indicateur d'un idéal I est le nombre d'entiers premiers à I qui sont contenus dans un système complet (mod 1). On peut reprendre le raisonnement du n° 323 et l'on trouve que l'indicateur de I est égal à :

^«(■-û(py)('-43))-

P, Q, ... désignent les facteurs premiers de I. Les théorèmes 1 . 409 à 4i3 se généralisent sans peine.

Théorème de Fermât, i*"^ énoncé. — P étant un idéal premier

et a un entier quelconque non divisible par P, l'entier a"*^^^^^ ~ ' — i est divisible par P.

2* énoncé. — P étant un idéal premier et ce un entier quelconque on a : ,

aWP) = a (modP).

Même démonstration qu'au n" 324.

Les théorèmes sur les restes suivant un module premier des puissances d'un entier, sur le nombre des racines d'une congruence algébrique à module premier, sur les racines primitives d'un module premier (n"' 325 et 326) s'appliquent encore ici.

La condition pour que a soit reste quadratique de P est :

%(P)-i ce ' =1 (mod P) Caheh. — Théorie des nombres, l. II. 45

yoÔ THÉORIE DES NOMBRES

sauf le cas de P = 2 ou un diviseur de 2. Les théorèmes de Ferrers et de Wilson (n° 324), celui d'Euler (n° 325) subsistent. De même les notions d'exposants par rapporta un module quelconque. L'étude du groupe des classes d'entiers relativement à un module P"* se fait comme au n" 326.

I. — 'Le théorème du n° 354 peut se démontrer de la façon suivante. En faisant correspondre à l'entier a + feio le point a, 6, il est d'abord évident qu'à tout idéal correspond un module de points à coordonnées entières, donc du second rang au plus. On peut donc y trouver deux points 8,, 82. tel que tout point du réseau soit SjX 4- ôjj [x, y, entiers ordinaires).

On peut supposer que l'un des deux entiers 5,, 82 soit un entier ordinaire.

En effet, d'abord il y a dans l'idéal des entiers ordinaires, car s'il y a un entier a, il y a aussi l'entier <xa. A cet entier ordinaire correspond un point du module sur l'axe Oac, qu'on peut prendre comme élément de la base.

II. — Décomposer en facteurs premiers 22( — A9 + /35, 338) dans le corps C(v/35).