CLASSES D'IDÉAUX. ANALYSE DIOPHANTIENNB
378. — Soit un idéal primitif ( — r + «, n). On sait que r est racine de la congruence :
a;' H- px — k ^ 0 (mod n).
A cette racine correspond (n° 180) une représentation primitive de n dans une classe de formes de déterminant A. Cette classe est celle de la forme :
r^ -h pr — k^
(i) [^n, ar
Cette classe est primitive car on a vu (n" 364) que les trois
entiers n, ir -t- p, ^ P'' sont premiers dans leur ensemble.
Cela établit un rapport entre un idéal primitif et une classe primitive. La forme (i) n'est pas déterminée par l'idéal, car d'abord l'idéal ne change pas si laissant n invariable on remplace r par i\ = r -\- In. Mais la forme (i) devient alors :
r\ + pr, — k\
qui est de même classe que (i), car elle s'en déduit par la substitution (
Ensuite l'idéal ne change pas non plus si on change n de signe. La forme devient alors :
/ , r* + pr — k\
Elle appartient à la classe inverse opposée de (i). Ce sont les seuls changements qu'on puisse faire subir à r et à n.
Ainsi un idéal primitif est en rapport avec deux classes de Jormes , inverses opposées l'une de l'autre. Nous dirons que deux idéaux sont de même classe quand ils sont en rapport avec les deux mêmes classes de formes.
D'ailleurs nous dirons qu'un idéal non primitif d{ — r -4- w, n) est de même classe que l'idéal primitif ( — r + w, /i).
Remarquons que les deux classes de formes primitives avec lesquels un idéal se trouve aussi en rapport ne sont pas toujours distinctes. Voir n° 267.
Théorème. — Soit un idéal I en rapport avec les classes G et — G~*. Soit a un nombre de I, de sorte que (a) est divisible par I.
La norme de i^ est représentable dans C ou dans — G~^. Réciproquement tout entier ordinaire représenté, dans Cune des deux classes C et — G~' est^ au signe près, la norme d'un idéal de la
forme ^ , a étant un nombre de I.
En effet soit : /
1 = d( — r -f- 10, Al)
a = d[{ — r -f- ui)x 4- ny].
On a :
%(a) = d*[( — r H- ui)x -+- ny] [( — r + (a)x + ny] = d^[{r^ -f- pr — k)x^ — n{ir -h p)xy -f- n^y^]
= d*n[nj' — (ar -+- p)xy H ^ y"^]
d'où :
r* -f- pr — k
/«\ 2 / , \ , r" -f- pr — /c „
ce qui démontre la première partie du théorème.
Réciproquement, si un entier est, au signe près de la forme ;
nj2 (ar 4- ppy H ^ y^
