CLASSES D IDÉAUX 7O

c'est la norme de ( y |, en posant :

a = d[{ — r -h oi)x -+- ny].

Théorème. — Pour quun idéal soit principal il faut et il suffit qu'il soit en rapport avec la classe principale.

Soit l'idéal principal I = (/3). Un nombre de l'idéal est de la forme a = ^{x -+- yw) et l'on a :

^^ = U(a; 4- jw) = a;2 pxj — kyK

Or la forme x^ — px — ky^ est la forme principale. Donc I est en rapport avec la forme principale.

Réciproquement si I est en rapport avec la forme principale, comme cette forme peut représenter le nombre i, il y a un nombre a de l'idéal tel que :

OU

Donc :

Donc :

Conséquence. — Les idéaux principaux appartiennent tous à une même classe que nous appellerons classe principale.

Remarque. — Dans ce qui va suivre, lorsque nous dirons simplement « classes » , il sera sous-entendu que nous parlons de classes d'idéaux. Lorsqu'il s'agira de classes de formes nous le dirons explicitement.

379. Théorème. — Si deux idéaux I, I' ... sont en rapport respectivement avec des classes de formes C, C ..., le produit II' ..., est en rapport avec la classe déformes GC ... (*).

{*) Remarquer à ce propos que de CD = F on ne déduit pas G( D) = — r ni (— C)D = — r.

yiO THEORIE DES NOMBRES

Nous ferons d'abord la remarque suivante : soient C et D deux classes de formes. Si l'on a :

CD -= r

on a :

comme on le vérifie facilement par les identités :

(a, b, a'e) (a', b, ae) = [cu^, b, e) (a, b, de) ( — cl , b, — ae) = { — aa' , b, — e) ( — a, b, — a'e) (a', b, ae) = ( — aa', b, — e) ( — a, b, — a'e) ( — a', 6, — ae) = [aa' , b, e).

Par conséquent les deux classes de formes qui sont en rapport avec I, combinées des quatre façons possibles avec les deux qui sont en rapport avec F ne donnent que deux produits dont l'un étant r, l'autre est — F-*.

De proche en proche on voit que pour démontrer le théorème il suffit de prendre une seule des deux classes de formes en rapport

avec I, une seule des deux classes en rapport avec J, ..., et de démontrer que le produit de ces classes est en rapport avec IJ ... Nous allons examiner d'abord des cas particuliers.

I. Si l'idéal premier P est en rapport avec la classe C l'idéal P"» est en rapport avec la classe (C)'".

Nous subdiviserons ce cas en trois, suivant les trois cas du n° 374.

a) P = (— r 4- w, p) avec f - j = i et r^ -+- pr — k^o {modp).

Alors C est la classe de ip, ir 4- p, ^ 1 .

On peut supposer que r^ -\- Qr — /c ^ o (modp"'). Alors on sait (n° 375) que P'" = ( — r -4- w, p"'), la classe en rapport avec

p"" est fp*", 2/' H- p, ^— ). Or cette forme est bien le

CLASSES d'idéaux 7 II

produit de m formes ip, ar -f- p, ^ ) lesquelles sont

immédiatement multipliables.

6) P = ( — r -f- o), p) avec /- | = o et ar -h p ^ o (mod p).

Alors C est encore la classe de (p, 2r + o, j. et

l'on a

D'autre part, puisque 2r -h p ^ o (mod p), C e»t uae classe bilatère.

Donc

ter = I (G)«+» = G.

Le théorème se vérifie donc encore dans ce cas.

c) P = Q,)aYec(-j = — I.

Alors P est un idéal principal et G est la classe principale. Toute puissance de P sera un idéal principal et toute puissance de C la classe principale.

Le théorème se vérifie encore.

2* cas. Soit

n, ri, ... étant premiers entre eux deux à deux. En déterminant R par les conditions

R ^ r (mod n) ^

R ^ r' (mod n')

on peut écrire

I =r d{— R -h w. n), r = âr^— R -h w, n') ..

et l'on a vu (n" 375) que