E = GD

Cette égalité servira de définition à E dans le cas oii I n'est pas divisible par J. D'ailleurs il est facile de voir que si on remplace l'une des classses G, D, ou toutes les deux par son inverse opposée, on obtient en tout pour E deux classes qui sont inverses opposées l'une de l'autre.

Le théorème fondamental énoncé au commencement du n° 379 subsiste pour des idéaux fractionnaires, comme on le voit immédiatement.

Le corollaire : deux idéaux conjugués sont en rapport avec deux classes inverses subsiste également.

381. Théorème. — Pour que deux idéaux, entiers ou fractionnaires, appartiennent à la même classe il suffit que leur rappoi t

RÉSOLUTION DE l'ÉQUATION D10PHàNT1E>NE LINEAIRE 718

soit an idéal principal. En effet pour que I et J appartiennent à la même classe, il faut et il suffit que I et J soient en rapport avec des classes de formes inverses, donc que IJ soit de la classe principale, c'est-à-dire soit un idéal principal. Or on a vu (n° 365)

que c'est une condition nécessaire et suffisante pour que -j soit un idéal principal.

Remarque. — On tire de là une définition des classes d'idéaux indépendante de la théorie des formes quadratiques. Deux idéaux sont dits de la même classe lorsque leur rapport est un idéal principal.