Résolution de l'équation diophantienne
a$ H- ^Ti = O
a, j3 sont des entiers donnés |, yj des entiers inconnues. L'équation se résout comme dans le cas des entiers ordinaires (I. ii i) et l'on trouve
(a, |3) étant le plus grand commun diviseur de a, |3 et A étant un idéal quelconque. Telle est l'expression la plus générale des entiers existants ou idéaux qui satisfont à l'équation proposée. Mais si l'on veut les entiers existants qui satisfont à l'équation il ne faut prendre pour A que des idéaux de même classe que (a, |S). De plus
il faut remarquer que . q. qui est un nombre existant (en général
fractionnaire) n'est défini qu'à un facteur unité près. Il est alors sous entendu que ce nombre est le même dans les deux expressions données pour i^ et yj.
383. Résolution de a$ + ^r; = y- — Cette équation exprime que y appartient à l'idéal («, |S). On a donc ainsi une condition nécessaire et suffisante pour que l'équation soit possible. Elle peut s'énoncer en disant que y est divisible par D(a, ^), ce qui est la même condition que pour les entiers ordinaires (voir I). Cette condition remplie, on verra comme au n* 140 du tome I que la solution générale s'obtient en ajoutant à une solution parti-
7l4 THÉORIE DES NOMBRES
culière Bo, "/Jo. la solution générale de l'équation sans second membre
ctA
71 =Tjo
A étant un idéal quelconque de la classe de (a, ^), et , — j5-\ ayant la
même valeur dans les deux formules.
Reste à trouver une solution particulière Eo, "/Jo- Pour cela il suffit de trouver une solution |o de la congruence
a$ ^ Y (raod ^) et d'en tirer yj, par la formule
■^io — p
Or il est évident que si une valeur de ^ satisfaite la congruence, toute valeur congrue à celle-ci (mod jS) y satisfait aussi. Donc, et puisque l'on sait a priori que la congruence est possible, il suffit de donner à B, les {%[^) valeurs formant un système complet (mod |3), il y aura sûrement certaines de ces valeurs qui satisferont à la congruence.
384. — Résolution de l'équation diophantienne du premier degré à un nombre quelconque d'inconnues. — Soit
«1^1 + «si?2 -H ... -4- aj„ = Y-
Pour que l'équation soit possible il faut et il suffit que y appartienne à l'idéal («i, aa, ... a,,)» ou ce qui revient au même que y soit divisible par D(ai, «s, ... (Xn).
Quant à la résolution effective de l'équation, on a vu plus haut comment, on ramène la base de l'idéal à n'avoir que deux éléments au plus ; par conséquent on ramène l'équation proposée à une équation à deux inconnues au plus, équation qu'on sait résoudre.
Forme (générale de la solution. — Cette transformation de la base de l'idéal en une autre a deux éléments au plus se fait par une
RÉSOLUTIO.N d'un SYSTEME d'ÉQUATIONS DIOPHANTJE.NNËS LINEAIRES yiS
seule substitution unité à coefficients entiers ordinaires
( Si = aiiW -4- ... + ain^n
{^n= OniW + ... + Onn^n-
Et l'on est ramené à une équation ne contenant plus que H/ et !«'. Ce
La solution générale de cette dernière est
Si' = (Si'). -h 5 A $,' = (sa-B-^
D étant l'idéal (a, p) c'est-à-dire l'idéal (ai, ocj, ... aj. Quant à ^i', 1^', ... |n' ils restent arbitraires. Représentons-les par X2, Xj, ... Xn entiers arbitraires. On a alors
Si = aii(S.')o -t- Oi2(S2')o 4- "'tP ~"«^ A + 0,3X3 -+- ... -4- a,„X„
Sn = anl(Sl')o + an2(Sî')o + ^^^ ~ ^'^^ A -f- OnsÀg + ... + a„n\
c'est-à-dire que les solutions sont de la forme
Si = (Sl)o H- ^ -^ -+- ^13X3 + ... 4- OlnXn
Sn = (S„). -+- "^ A + a,.3Xs + . . . H- a„„X„
(^i)o ... (^n)o est une solution particulière de l'équation, D = (ai, aj, ... ctn),
«u ... a„i sont des entiers appartenant à D, A est un idéal de la classe de D, arbitraire d'ailleurs, Les a,; sont des entiers rationnels; Oij, a^j, ... a„; formant un solution particulière de l'équation sans second membre. Enfin les A sont des entiers existants arbitraires du corps (Comparer avec I 162, remarque I).
385. Résolution d'un système d équations diophantiennes linéaires. — Nous ne poursuivrons pas plus loin dans cette voie et ne chercherons pas à résoudre par cette méthode un système
7l6 THÉORIE DES NOMBRES
d'équalions diophantiennes linéaires. Ce dernier problème peut se résoudre de la façon suivante (s'appliquant bien entendu aussi à une seule équation). On met les coefficients sous la forme a -t- 6w et les inconnues sous la forme x -f- yw. On remplace dans les équations obtenues w^ par — pw -4- /c, et l'on égale dans les équations obtenus les coefficients de w et les termes indépendants de w. On obtient ainsi un système d'équations diophantiennes linéaires où les coefficients et les inconnues sont des entiers rationnels. On voit ainsi que les solutions obtenues forment un réseau, ce que l'on peut aussi démontrer a priori.
