Congruences du premier degré à module idéal

Les congruences dont le module est un nombre existant se ramènent à des équations diophantiennes et, par conséquent, dans le cas du premier degré, le problème peut être considéré comme résolu. Pour les congruences à module idéal on les ramène à des congruences à module existant de la façon suivante :

Lemme. — On peut trouver un idéal qui appartienne à une classe donnée C et qui soit premier à un idéal donné I.

Remarquons d'abord que si les normes de deux idéaux sont premières entre elles ces deux idéaux sont premiers entre eux. Ceci posé considérons l'une des deux classes de formes quadratiques qui correspondent à C. On peut trouver un entier ordinaire représentable primitivement dans cette classe et premier à %[l). Soit n cet entier ; la classe de formes dans laquelle il est représentable contient des formes dont le premier coefficient est n. Soit

(n, 2/' H- p, ( ^ j cette forme; l'idéal ( — r + «, n)

répond à la question.

Ceci posé, soit la congruence

/($, T), ...) = G (mod I).

On peut l'écrire

T/(Ç, -T), ...) = o [mod U(I)].

Soit A un idéal de la même classe que I et premier %(l) ; on peut multiplier les deux membres de la congruence précédente par A sans changer le module. Il vient alors :

A7/(S, 71, ...)=o[mod%(I)].

Or AI est un entier existant ; on est donc bien ramené à une congruence dont le module est un entier existant, et même un entier rationnel.

387. Application à la congruence du premier degré à une inconnue. — Soit

a$ ^ Y (mod I).

Écrivons, d'après la méthode précédente kM = ï^ (modiT).

D'après les résultats du n° 383 la condition nécessaire et suffisante de possibilité est que D(AIa, II) divise I7. Or:

D (Aîa, lî) = ÎD (Aa, I) = ID (a, I).

La condition est donc que D(a, I) divise 7.

Cette condition étant supposée remplie la solution générale est :

° "^ D(ATa, ri) '^

ou :

A étant un idéal de la classe de y ■ ^^ encore :

X étant un entier divisible par ^-^ — ^r.

Le nombre de solutions incongrues (mod I) est le nombre des entiers contenus dans un système complet (mod I) et qui sont

divisibles par ^. — ^ . Il est facile de voir que ce nombre est